С постоянными коэффициентами

I. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

(11)

Чтобы решить данное уравнение, надо составить и решить характеристическое уравнение

(12)

Если корни характеристического уравнения действительны и различны, , то общее решение уравнения (11) выражается формулой

(13)

Если же корни действительны и одинаковы , то общее решение имеет вид

(14)

Наконец, в случае комплексных корней общее решение имеет вид

(15)

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение

Так как корни квадратного уравнения являются действительными и разными, общее решение имеет вид

Пример 9. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее заданным условиям

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Поэтому общее решение имеет вид

Для нахождения частного решения продифференцируем y.

Подставив выражения для y и y¢ в начальные условия, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно С₁и С₂.

Решив ее, найдем

Пример 10. Напряжение в электрической цепи во время переходного процесса описывается уравнением

где r, L, C - постоянные величины, характеризующие сопротивление, индуктивность и емкость цепи. Найти функцию U(t), если

Решение. Характеристическое уравнение

имеет комплексные корни (), где В общем случае решение имеет вид

Преобразуем его, приняв и . Тогда

Отсюда

Последняя формула описывает затухающие синусоидальные колебания с частотой и амплитудой , уменьшающейся с течением времени.

II. Общее решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

равно сумме общего решения y_0.0.соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения y_ч.н.

y₌y_0.0.+ y_ч.н.

Если правая часть уравнения состоит из сумм и произведений функций частное решение можно искать методом подбора или методом неопределенных коэффициентов. Для перечисленных функций частное решение неоднородного уравнения имеет сходный с правой частью уравнения вид (см. таблицу 1).

Таблица 1.

Структура частного решения линейного неоднородного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

в зависимости от вида правой части уравнения

Вид правой части уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
	a=0, b=0, a+ib=0, k¹0 k=0	y_ч.н.= y_ч.н =
	b=0, a+ib=a, k₁¹a и k₂¹a a= k₁ или a= k₂ k₁=k₂=a	y_ч.н. y_ч.н. y_ч.н.
	a=0, a+ib= i b, k₁¹ i b и k₂¹ i b k₁= i b или k₂= i b	y_ч.н. y_ч.н. =
где Р_n(x) -многочлен n-ой степени, L_m(x)- многочлен m-ой степени от x	и или	y_ч.н. = где l - наибольшее из чисел m и n, y_ч.н. =
		y_ч.н где y_i - частное решение уравнения с той же левой частью и правой частью, равной f_i(x) (i=1,2,...n).

Неопределенные коэффициенты А₀,А₁,...,А_m,А,В,...определяют следующим образом: находят производные и подставляют y_ч.н. y¢_ч.н., и y¢¢_ч.н. в левую часть уравнения. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной и синусах и косинусах в левой и правой частях дифференциального уравнения, составляют систему алгебраических уравнений для нахождения значений неопределенных коэффициентов.

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Заданное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее однородное уравнение -

Его характеристическое уравнение имеет корни k₁=4, k₂=-1.

Отсюда

Теперь найдем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как правая часть не содержит множителей полагаем равными нулю (). Тогда a+ ib=0, 0 не является корнем характеристического уравнения. Правая часть уравнения представляет собой многочлен второй степени (хотя и неполный), поэтому решение будем искать в виде