Математическое обеспечение расчета количественного состава оборудования

Оптимизация выбора количественного состава оборудования

Постановка задачи

Одним из первых этапов в создании проекта участка гибкого производственного производства (ГАП) и, в частности, в проектировании его транспортной подсистемы, является решение задач выбора и размещения оборудования участка. Эти задачи являются сложными многопараметрическими и многокритериальными оптимизационными задачами.

Задачу выбора технологического состава оборудования можно разбить на две подзадачи: задачу выбора количественного состава оборудования и задачу выбора качественного состава. В первом случае необходимо при конкретном заданном наборе оборудования выбрать оптимальный количественный состав оборудования в каждой группе технологического оборудования, занятой в заданном технологическом процессе.

При выборе количественного состава оборудования исходными данными являются параметры технологического процесса, общее количество позиций обработки и типаж технологического оборудования. Задача выбора количественного состава ставится как задача определения количества единиц оборудования в группах, отвечающих позициям обработки. Эта задача рассматривается в двух дополняющих и последовательно расширяющих друг друга вариантах. На первом этапе количественный состав оборудования определяется из уравнений баланса межгруппового обмена продукцией с учетом времен обработки на позициях участка, заданных потоков обрабатываемых изделий между различными группами оборудования, требуемой производительности участка, заданных рабочих площадей и обобщенных стоимостей, выделяемых на оборудование и его установку.

На втором этапе вводятся ограничения на допустимый разбаланс оборудования в группах. Эти условия соответствуют ограничениям на взаимно обусловленные простои оборудования при рассогласовании требований различных потоков обрабатываемых изделий, например, при широкой номенклатуре изделий участка ГАП. А также рассматривается дополнительный критерий – время, необходимое на переналадку оборудования при переходе от одной модификации к другим.

Далее рассмотрим задачу выбора количественного состава оборудования для участка ГАП и математический аппарат, который используется для решения данной задачи.

Математическое обеспечение расчета количественного состава оборудования

Пусть на рассматриваемом участке намечен выпуск продукции L модификаций и для каждого задано Г ^l – количество изделий l –ой модификации, которое необходимо выпускать на данном участке в единицу времени.

Пусть для каждой из модификаций известен ее технологический маршрут (последовательность операций, необходимых для производства продукции данной модификации).

Будем рассматривать технологические маршруты двух типов: технологические маршруты типа «механообработки» и маршруты типа «механосборки».

Маршруты задаются либо в виде графов, как, например, показано на рисунке 1.3.1, либо с помощью матриц технологических маршрутов C ^l, , размерности N N, где N – число различных групп оборудования, занятых в технологических процессах рассматриваемого участка гибкого производства.

а) б)

Рисунок 1.3.1 – а) процесс типа «механообработки»;

б) процесс типа «механосборки».

Число различных групп оборудования N совпадает с максимальным числом вершин графов технологических маршрутов (в графах технологических маршрутов число вершин может быть меньше N, это связано с тем, что при производстве некоторых модификаций продукции данного участка, определенные группы оборудования могут быть не задействованы).

Будем считать, что все группы оборудования различного типа пронумерованы.

Элементы матриц C ^l определены как элементы матриц смежности соответствующих графов технологических маршрутов.

Пусть далее заданы матрицы ; ; - количества единиц продукции i -ой группы оборудования, необходимые для производства продукции j -ой группы оборудования при выпуске изделий l -ой модификации.

Для процесса типа «механообработки» справедливо равенство

, i, : , . (1.3.1)

Для процесса типа «механосборки» равенство (1.3.1) может не выполняться.

Пусть Т - время обработки детали продукции l -ой модификации на станке i -ой группы.

Пусть P – обобщенная стоимость выбранного технологического оборудования. Положим, что она включает в себя обычную стоимость оборудования, стоимость его установки и наладки на рассматриваемом участке.

Пусть S – площадь, необходимая для размещения на данном участке выбранного состава оборудования.

Для выпуска продукции L модификаций, необходимо выбрать такой количественный состав технологического оборудования, который обеспечит выполнение неравенств

P P₀, S S₀ (1.3.2)

и в то же время позволит обеспечить выпуск намеченной продукции модификаций с заданными производительностями Г ^l.

В неравенствах (1.3.2) P₀ и S₀ – соответственно обобщенная стоимость, выделенная на технологическое оборудование для рассматриваемого участка, и полезная площадь этого участка.

Пусть К _i – число станков одного типа в i -ой группе рассматриваемого технологического оборудования, . Решить задачу выбора количественного состава оборудования, значит найти такой набор {K _i }, , который обеспечит выполнение неравенств (1.3.2) выпуск продукции с запланированными Г ^l.

Далее будем рассматривать только технологический процесс типа «механосборки», так как процесс типа «механообработки» можно рассматривать как его частный случай.

Пусть вершины графов технологических маршрутов пронумерованы так, что вершина с максимальным номером соответствует последней операции l -го технологического процесса. Пусть также число технологических операций во всех технологических процессах не меньше, чем N.

Запишем уравнение баланса межгруппового обмена продукцией для N-ой вершины каждого l -го графа технологического процесса (в предположении, что обмен ведется через накапливающие устройства)

, . (1.3.3)

Здесь - число станков N-ой группы, необходимое для обеспечения выпуска продукции l -ой модификации с заданным Г ^l.

Общий вид уравнений баланса для технологического маршрута l -ой модификации можно записать в виде

, ; (1.3.4)

; ; .

Величины вычисляются ранее и теперь позволяют найти все , для таких i, что .

Здесь - число станков одного типа в i -ой группе рассматриваемого технологического оборудования, .

После решения уравнений баланса, найденные необходимо привести к целому виду

= [ ] + 1, где [a] – целая часть а.

Может быть ситуация когда , то может получиться так, что . Это означает, что при выпуске продукции различной модификации, с заданными Г ^l, одной и той же группе оборудования необходимо различное число единиц оборудования. Поэтому для обеспечения всех Г ^l, , на рассматриваемом участке, необходимо взять число станков в каждой из N групп, определенное следующим образом

, . (1.3.5)

Пусть s _i – площадь, необходимая для установки на участке одного станка i -ой группы, тогда S _i = - площадь, необходимая под i -ую группу оборудования. Здесь _i – коэффициенты использования единицей оборудования рабочей площади участка.

Необходимо, чтобы S₀ . Если S₀ < S _i, то необходимо провести пересчет по площади с учетом отношения S₀/ S _i. Формулы пересчета:

Аналогично производится пересчет по стоимости по следующей формуле ,

где p _i – обобщенная стоимость одного станка i -ой группы.

Пусть при пересчете по площади получено , станков в группах, а при пересчете по стоимости , - станков, тогда для обеспечения неравенств (1.3.2) выберем количественный состав оборудования следующим образом

. (1.3.6)

Новые значения Г после пересчета определяются выражением

Г = K _N / T ;

и соответствуют тем производительностям, которые возможны на рассматриваемом участке при заданных S₀ и P₀.

Теперь можно рассмотреть пример использования уравнений баланса.

Рассмотрим технологический участок с полезной площадью S₀ = 100 и стоимостью, выделенной на оборудование P₀ = 150. На участке намечен выпуск продукции трех модификаций (L = 3), и всего на участке пять различных групп оборудования (N = 5). Технологические маршруты заданы следующими матрицами

, ,

Пусть производительности будут равны Г₁ = Г₂ = Г₃ = 10.

В соответствии с матрицам С заданы матрицы производительности каждой группы оборудования

, ,

Время обработки для каждой группы оборудования заданы следующей таблицей

l	T	T	T	T	T
	1,0	1,5	2,0	1,6	1,0
	1,2	1,3	2,0	1,6	1,0
	1,3	1,2	2,0	1,2	2,0

Площади и стоимости станков каждой группы заданы следующей таблицей

N
S	1,0	1,0	1,5	2,0	1,2
P	1,0	1,5	2,0	1,0	0,5

Решая уравнения баланса, получаем следующие результаты

для l = 1 К = 20, К = 45, К = 20, К = 16, К = 20;

для l = 2 К = 24, К = 0, К = 20, К = 16, К = 30;

для l = 3 К = 26, К = 48, К = 0, К = 24, К = 20.

С учетом формулы (1.3.5) получаем состав оборудования, который обеспечит выпуск продукции всех модификаций с заданными Г ^l,

, , ,

, .

После пересчетов по площади и стоимости получим

К₁ = 13, К₂ = 24, К₃ = 10, К₄ = 12, К₅ = 15.

Анализ приведенного выше примера показывает, что при выборе количественного состава оборудования методом уравнений баланса могут возникать ситуации, когда при выпуске продукции некоторых модификаций в определенных группах окажутся незадействованные станки.

Введем далее возможную схему коррекции постановки задачи выбора оборудования, допускающую ограничение простоев оборудования.

Рассмотрим выражение

, (1.3.7)

которое показывает величину разбаланса между i -ой и j -ой группами оборудования в пересчете на один станок j -ой группы.

Пусть на величины (1.3.7) наложены ограничения вида

, (1.3.8)

где D_ij – задаваемые (управляемые) положительные константы, которые определяют верхнюю границу разбаланса оборудования в группах.

Ограничения (1.3.8) наложенные на количественный состав выбираемого технологического оборудования, можно представить в виде

. (1.3.9)

Введем ограничения на количественный состав выбираемого технологического оборудования для обеспечения заданных Г ^l.

Если задана нижняя граница производительности для выпуска продукции l -ой модификации Г , , то необходимо чтобы

Общий вид ограничений на количественный состав

где - множество вершин l -го технологического маршрута, лежащих на пути из вершины j в вершину N.

Для обеспечения Г ^l при любом l на одном и том же составе технологического оборудования, необходимо чтобы

. (1.3.10)

Далее на выбор количественного состава оборудования накладываются дополнительные ограничения с учетом времени переналадки.

Будем считать, что набор модификаций пронумерован. Пусть задана последовательность , , …, выпуска продукции участка. Каждое , соответствует продукции одной из L модификаций.

Пусть T – время, необходимое для перевода участка с выпуска продукции -ой модификации на продукцию -ой модификации.

Пусть Т – время, выделенное на выполнение последовательности, , , …, , а t ^l – время, выделенное из времени Т на выпуск продукции l -ой модификации.

С учетом времени переналадки, получаем

. (1.3.11)

Пусть T – время, необходимое на переналадку одного станка i –ой группы при переходе с выпуска продукции -ой модификации на выпуск продукции -ой модификации.