Экономические или логистические модели

Введем, дополнительно, следующие обозначения (применительно к ситуации, когда значение реализуемого спроса на [ 0;Т ] составляет х):

h(q-x) – избыточные расходы на хранение за период;

v(q-x) – компенсация убытков продажей остатков запаса в случае, когда x<q;

p(x-q) – штрафные издержки за неудовлетворенный спрос в случае, когда x>q;

c(q) – расходы по созданию запасов на указанный период.

Тогда средние ожидаемые расходы (обозначим их через L(q)) на хранение и штрафы составят

.

При этом задача оптимизации объема создаваемых запасов имеет вид

L(q)+c(q)→ min.

^{q ≥0}

Оптимальный объем запаса q=q^* находится далее обычными методами как точка минимума функции L(q)+c(q) в области q > 0.

СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ С УЧЕТОМ

ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ

Для моделей указанного типа, в рамках которых дополнительно требуется учесть временную стоимость денег (или временную структуру процентных ставок) введем следующее обозначение. А именно, пусть r_Т далее обозначает ставку наращения применительно к периоду времени [ 0;Т ], причем длительность такого промежутка времени известна. Принимая, что все необходимые затраты по созданию такого одноразового запаса и его хранению соотносятся с началом соответствующего периода времени [ 0;Т ], получаем следующее. Вид функций h(q-x) и c(q) при такой модификации модели можно оставить без изменения (т.е. таким же, как и для рассмотренной выше задачи оптимизации уровня создаваемого одноразово запаса).

Кроме того, принимая, что денежные поступления от компенсации убытков продажей остатков запаса (случай x<q), а также недополученная сумма за неудовлетворенный спрос (случай x>q) соотносятся именно с концом такого периода времени, видим, что потребуется следующая модификация указанных функций. А именно, функции v(q-x) и p(x-q) применительно к модели учета временной стоимости денег (например, по схеме простых процентов) уже должны быть соответственно модифицированы. Обозначим такие модифицированные функции далее через v_ВС(q-x) и p_ВС(x-q) соответственно. Тогда, если r_Т – ставка наращения для периода времени [ 0;Т ], то для указанных модифицированных функций имеем:

v_ВС(q-x)= v(q-x)/(1+ r_Т),

p_ВС(x-q)= p(x-q)/(1+ r_Т).

Действительно, все суммы в рамках интересующей нас задачи оптимизации с учетом временной стоимости денег должны быть приведены (в соответствии с принципами и правилами финансового анализа и финансовой математики) к одному и тому же моменту времени: в данном случае при указанной модификации модели – к начальному моменту периода [ 0;Т ]. Разумеется, при этом величина средних ожидаемых расходов на хранение и штрафы также окажется модифицированной с учетом указанной особенности. Наконец, учитывая отмеченные выше особенности соответственно изменитсяи минимизируемая функция L(q)+c(q) в области q > 0. Следовательно, также изменится и оптимальное значение для рекомендуемого объема создаваемого запаса в модели одноразовой поставки.

ЗАМЕЧАНИЕ. В общем случае при учете временной стоимости денег необходимо рассматривать все имеющие место денежные потоки (как уходящих, так и приходящих платежей). Соответствующий подход будет проиллюстрирован в конце главы, а также в следующих главах применительно к динамическим моделям управления запасами.