Гипербола, каноническое уравнение. Эксцентриситет и директриса гиперболы

Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек является постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c. Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром. У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось, проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью и обозначается через a. Мнимая полуось обозначается символом b. Каноническое уравнение гиперболы записывается в виде

1. Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной:
|r₁ − r₂| = 2a, где r₁, r₂ − расстояния от произвольной точки P(x, y) гиперболы до фокусов F₁ и F₂,a − действительная полуось гиперболы.

2.

Уравнения асимптот гиперболы

3. Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием
c² = a² + b², где c − половина фокусного расстояния, a − действительная полуось гиперболы, b − мнимая полуось.

4.

5.

6.

Эксцентриситет гиперболы e = c/a > 1

Уравнения директрис гиперболы
Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее на расстоянии a/e от центра. У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис имеют вид

Общее уравнение гиперболы:Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
где B² − 4AC > 0.

Общее уравнение гиперболы, полуоси которой параллельны осям координат
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
где AC < 0.