Окружность

Окружностью называется линия, каждая точка на которой находится на одинаковом расстоянии от заданной точки , называемой центром окружности. Величина называется радиусом окружности.

В прямоугольной системе координат уравнение окружности имеет вид

,

где — координаты её центра, — радиус окружности.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. , , то уравнение окружности примет вид:

§ Признак уравнения окружности: коэффициент при равен коэффициенту при .

§ Свойства окружности:

Окружность имеет бесконечное множество осей симметрий.

Точки на окружности равноудалены от центра.

Пример. Найдите координаты центра и радиус окружности .

Разделив уравнение на 2, и сгруппировав члены уравнения, получим .

Дополним выражения и до полных квадратов, прибавив к первому двучлену 4, а ко второму (одновременно к правой части прибавляется сумма этих чисел):

.

По формуле имеем , , т.е. — координаты центра окружности; — радиус окружности.

3. Эллипс

Эллипсом называется линия, для каждой точки на которой сумма расстояний до двух заданных точек и (фокусов эллипса) есть величина постоянная: .

§ Уравнение эллипса с центром в начале координат:

.

Числа называются большой и малой полуосью эллипса.

Между и существует связь: .

Точки и являются фокусами эллипса, причем .

Свойство эллипса:эллипс имеет две оси симметрии .

Признак уравнения эллипса: коэффициент при и коэффициент при имеют одинаковый знак и по абсолютной величине не равны между собой.

§ Уравнение эллипса со смещенным центром в точке :

Пример. Дано уравнение эллипса . Найдите длины его полуосей, координаты фокусов.

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде, разделив обе его части на 1176:

.

Отсюда , .

Используя соотношение (4), находим и . Следовательно, и .