III уровень

3.1. Сила разложена по двум перпендикулярным направлениям, одно из которых задано вектором Найдите направляющую силы в направлении этого вектора.

3.2. Подберите ненулевые числа α, β, γ так, чтобы

где

3.3. Даны три вершины А (3, –4), В (–5, 3) и С (1, 2) параллелограмма ABCD. Найдите его четвертую вершину D.

3.4. Даны вершины треугольника А (3, –1), В (4, 2) и С (–4, 0). Найдите длину медианы, проведенной из вершины А.

3.5. Даны вершины А (1, –1), В (2, 1) и С (–5, 2) треугольника АВС. Вычислите длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

3.6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (3, –2), В (3, 1) и С (4, 0). Вычислите расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

3.7. В вершинах треугольника А (1, –1), В (0, 4) и С (2, –1) сосредоточены массы соответственно 1, 2, 3. Найдите координаты центра масс этой системы.

З а м е ч а н и е. Для пары масс m ₁ и m ₂, сосредоточенных в точках А и В, центр находится в точке, делящей отрезок АВ в отношении где l₁ и l₂ – расстояния от точек с соответствующими массами до их центра.

3.8. Даны векторы Найдите вектор лежащий с векторами и в одной плоскости, перпендикулярный вектору равный ему по длине и образующий с вектором тупой угол.