2015-06-28
975
Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим ρ, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через φ. Будем считать φ положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.
Величины ρ и φ называются полярными координатами точки М: ρ – полярный радиус, φ – полярный угол. Принято считать, что 
или 
а полюс имеет нулевые полярные координаты.
Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (ρ, φ) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:
(8.9)
(8.10)
Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах: ρ = ρ (φ) или Ф (ρ, φ) = 0.
Пример 1. Найти полярные координаты точек 
Решение. Точка 
лежит в I четверти прямоугольной системы координат. Значит, полярный угол φ удовлетворяет условию 0 < φ < π /2, причем согласно первой формуле системы (8.10):
|
|
|
Следовательно, 
что приводит к 
Итак, 
Точка 
является внутренней точкой III четверти прямоугольной системы координат, следовательно, 
(или 
). Найдем полярный радиус (используем формулы (8.10)):
Тогда 
Значит, 
или 
Таким образом, точку B в полярной системе координат можно задать как B 
или 
Рассмотрим точку С. Учитывая, что 
а значит, 
определяем, что точка С лежит во II четверти прямоугольной системы координат. Ее полярный радиус, согласно формулам (8.10), есть
Для нахождения полярного угла φ поступим следующим образом. Найдем 
затем, воспользовавшись тем, что наименьший положительный период функции y = tg x равен π, а угол φ удовлетворяет соотношению 
получим:
Значит, 
З а м е ч а н и е. При использовании формулы 
при нахождении полярного угла целесообразно изображать эти точки на чертеже (рис. 8.10).
Рис. 8.10
Пример 2. Зная полярные координаты точек 
, 
найти их прямоугольные координаты.
Решение. Используя формулы (8.9), находим прямоугольные координаты заданных точек:
Следовательно, 
Следовательно, B (–1, 1).
Следовательно, 
Пример 3. Зная полярные координаты точки r = 10, 
найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке А (2, 3), а полярная ось параллельна оси Ox.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy, удовлетворяющую условию задачи (рис. 8.11). Тогда точка 
в этой системе координат определена как М (xM, yM).
Очевидно, что
Таким образом, в заданной прямоугольной системе координат точка М определена как 
 |
|
|
|
Рис. 8.11
Пример 4. Составить параметрические уравнения окружности x 2 + y 2 = 1, приняв за параметр угол между осью Ox и радиус-вектором 
где О – центр окружности, М – ее точка.
Решение. Пусть точка М имеет прямоугольные координаты 
Тогда, по определению тригонометрических функций, 
где 
Таким образом, получили параметрические уравнения окружности.
Пример 5. Найти уравнение фигуры на плоскости в прямоугольных координатах, если она имеет следующее уравнение в полярной системе координат:
1) r = 4; 2) 
3) r = 2cos φ.
Решение. Для решения примеров будем использовать формулы (8.10).
1) Поскольку 
Возводим в квадрат и получаем 
– уравнение окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 4.
2) Уравнение 
означает, что 
причем точка с координатами (x, y) лежит в I четверти. Значит, 
или 
Получим уравнение луча с началом в точке (0, 0).
3) Заданное уравнение 
запишем в виде 
Получили 
Выделяем полный квадрат и приходим к уравнению 
которое есть уравнение окружности с центром в точке (1, 0) и радиусом r = 1.
