Смешанное произведение векторов. Если два вектора перемножаются по векторному произведению и результат скалярно умножается на третий вектор

Если два вектора перемножаются по векторному произведению и результат скалярно умножается на третий вектор, то такое произведение векторов называется смешанным.

Свойства смешанного произведения

1. При круговой перестановке сомножителей произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение не изменится, если поменять местами знаки векторного и скалярного произведений:

Это позволяет записывать смешанное произведение векторов вообще без знаков умножения: В дальнейшем смешанное произведение трех векторов будет записываться без знаков умножения.

3. При перестановке двух сомножителей знак произведения меняется на противоположный.

4. Смешанное произведение равно нулю, если:

а) один из векторов нулевой;

б) два вектора коллинеарные;

в) три вектора компланарные.

Смешанное произведение вычисляется как определитель, составленный из координат векторов

. (3)

Геометрический смысл смешанного произведения состоит в том, что его модуль равен объему параллелепипеда, построенного на векторах, как на рёбрах.

. (4)

При этом, если тройка векторов правая, то если тройка векторов левая, то .

Если на тех же векторах строить не параллелепипед, а треугольную пирамиду – тетраэдр, то его объем вычисляется по формуле

(5)

7) Из равенства, позволяющего вычислить скалярное произведение векторов, образующих некоторый угол, следует: