Вывод рекуррентной формулы для расчета импеданса на Земной поверхности

Запишем одномерное уравнение Гельмгольца для компоненты в пределах слоя с номером m (1 <= m <= N):

В этой формуле - волновое число слоя с номером m. Как уже говорилось, общее решение этого уравнения записывается в виде:

(4.1)

Подставив это решение во второе уравнение системы (2.3) и проведя дифференцирование, получим:

Отсюда:

(4.2)

Введем импеданс Тогда с учетом (4.1) и (4.2) внутри m - го слоя:

Разделим числитель и знаменатель на . В результате получим:

Введем обозначение:

Тогда выражение для импеданса примет вид:

Перемножим экспоненты и изменим порядок слагаемых в числителе и знаменателе:

(4.3)

Структура этого выражения соответствует формуле гиперболического котангенса:

Таким образом, формулу (4.3) можно записать в виде:

Рис. 4. Переход от импеданса на подошве к импедансу на кровле m-го слоя.

Найдем связь между импедансом на кровле и подошве m - го слоя (рис. 4). На подошве m -го слоя импеданс равен:

Отсюда:

(4.4)

Импеданс на кровле m - го слоя равен:

С учетом (4.4) имеем:

Мощность m - го слоя , следовательно:

Эта рекуррентная формула выражает импеданс на кровле m - го слоя через импеданс на подошве m -го слоя , свойства слоя ( и ) и частоту.

В соответствии с (3.3) импеданс на поверхности нижнего (N - го) слоя равен:

Согласно с граничными условиями компоненты и на границах слоев непрерывны, следовательно, непрерывен и импеданс. Поэтому импеданс на кровле нижележащего слоя равен импедансу на подошве вышележащего слоя.

Итак, зная импеданс на самой нижней (N-1 - ой) границе, мы можем пересчитать его на N-2 - ю границу, затем - на N-3 - ю и далее вплоть до земной поверхности. Полученное значение импеданса на поверхности Земли будет зависеть только от свойств (сопротивлений и мощностей) слоев и частоты. Это значение и будет решением прямой задачи МТЗ в модели Тихонова - Каньяра.