Задачи с применением аффинного преобразования

172. Доказать, что в любом треугольнике: а) три медианы пересекаются в одной точке; б) каждая медиана точкой пересечения делится в отношении , считая от вершины.

173. Доказать, что в произвольной трапеции точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на прямой, проходящей через середины оснований.

174. Точки , и лежат на сторонах , , треугольника , причем . Доказать, что центр тяжести треугольника совпадает с центром тяжести треугольника и что то же справедливо для центра тяжести треугольника, образованного при пересечении прямых , и .

175. Каждая из сторон треугольника разделена на три равные части и каждая из точек деления соединена прямой с противоположной вершиной треугольника. Доказать, что в образованном этими прямыми шестиугольнике диагонали, соединяющие его противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

176. Даны три попарно пересекающиеся прямые , , , не принадлежащие одному пучку, и точка . Через точку проведена прямая , параллельная прямой и пересекающая прямую в точке ; через точку проведена прямая , параллельная прямой и пересекающая прямую в точке ; через точку проведена прямая , параллельная прямой и пересекающая прямую в точке . Доказать, что либо точка совпадает с точкой , либо (если ) точка прямой , полученная аналогичным построением, начатым с точки , совпадает с точкой .