Задачи с применением вращения

127. Вершины и квадрата соединены с серединами и сторон и соответственно. Доказать, что отрезки и ортогональны.

128. Вершины , , , квадрата соединены с серединами , , , сторон , , , соответственно. Доказать, что четырехугольник, полученный при пересечении отрезков , , , , есть квадрат.

129. На сторонах и треугольника построены квадраты и , причем первый квадрат расположен с данным треугольником по разные стороны от прямой , а второй – по одну сторону с ним от прямой . Доказать, что отрезок конгруэнтен стороне треугольника и перпендикулярен ей.

130. Прямая отсекает от сторон и ромба отрезки и , сумма которых равна стороне ромба. Известно, что . Доказать, что треугольник - правильный.

131. На последовательных отрезках и прямой по одну сторону от нее построены правильные треугольники и . Пусть – середина , а – середина . Доказать, что треугольник – правильный.

132. Пусть – правильный шестиугольник, - середина его диагонали , а – середина стороны . Доказать, что треугольник правильный.

133. В окружности хорды и конгруэнтны и расположены так, что соответственные дуги и одинаково ориентированы. и – такие внутренние точки окружности, что конгруэнтен и конгруэнтен . Доказать, что и .

134. Через центр равностороннего треугольника проведены две секущие, образующие между собой угол . Доказать, что отрезки секущих, заключенные внутри треугольника, конгруэнтны.

135. Дан равносторонний треугольник со стороной . На двух его сторонах от вершины, в которой они сходятся, отложены отрезки, сумма длин которых равна . Доказать, что концы построенного отрезка равноудалены от центра данного треугольника, и найти величину угла, под которым виден из центра отрезок, соединяющий эти концы.

136. На сторонах квадрата вне его построены правильные треугольники. Доказать, что центры этих треугольников образуют квадрат.

137. На сторонах правильного треугольника вне его построены квадраты. Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами правильного треугольника.

138. Стороны , и правильного треугольника разделены точками , , (соответственно) в отношении: . Доказать, что: 1) треугольник – правильный; 2) треугольник , полученный от пересечения прямых , , – правильный; 3) центры треугольников и совпадают с центром данного треугольника.

139. Стороны и треугольника после их поворота вокруг вершины на (первая – по часовой стрелке, вторая – против часовой стрелки) определили новый треугольник . Доказать, что медиана треугольника перпендикулярна стороне треугольника .

140. Стороны и треугольника после их поворота вокруг вершины на (первая – против часовой стрелки, вторая – по часовой стрелке) определили новый треугольник . Доказать, что медиана треугольника перпендикулярна стороне треугольника .

141. Дан остроугольный треугольник , угол которого равен . На стороне как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны и треугольника в точках и соответственно. Серединный перпендикуляр к стороне , направленный внутрь треугольника, пересекает эту окружность в точке . Доказать, что треугольники и конгруэнтны.