2015-06-28
659
В 1926 р. Шредінгер, виходячи з ідеї де Бройля про хвильові властивості матерії розробив теорію руху мікрочастинок – хвильову механіку, в основу якої покладено рівняння Шредінгера, що грає в атомних процесах таку саму фундаментальну роль, як і закон Ньютона в класичній механиці. Шредінгер руху мікрочастинки поставив у відповідність комплексну функцію координат і часу, яка відома нам як хвильова функція або “псі-функція”, вид якої одержується з рішення рівняння Шредінгера наступного типу:
, (4.24)
де m – маса частинок, 
Δ – оператор Лапласа, U – функція часу і координат. У цьому рівнянні 
. При русі частинки в стаціонарному силовому полі, функція U не залежить явно від часу і має зміст потенціальної енергії. В такому випадку Ψ-функцію можна отримати з більш простого рівняння:
,(4.25)
де Е – повна енергія частинки (
). (4.25) називаається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів, його частіше записують у вигляді:
(4.26)
Рівняння Шредінгера являється основним рівнянням і не виводиться з яких-небудь міркувань, справедливість його доводиться тим, що всі наслідки, що витікають з нього точно узгоджуються з дослідними фактами. Розглянемо, як можна не вивести, а прийти до рівняння Шредінгера на прикладі одномірного випадку руху частинки, що рухається вільно, якій ми співставляємо по Луї де Бройлю плоску хвилю типа (4.17)
|
|
|
, (4.17)
Якщо продиференціювати (4.17) один раз по t, а другий раз двічі по х, то отримаємо
,
звідси
, 
.(4.27)
У нерелятивістській класичній механиці маємо зв’язок між Wk (кінетичною енергією) і P(імпульсом) у вигляді 
, підставляючи сюди вираз для E і P з (4.27) отримаємо після скорочення на Ψ рівняння:
, (4.28)
яке співпадає з рівнянням (4.24) при U=0. При русі частинки в силовому полі, що характеризується потенціальною енергією U, повна енергія (
) і Р зв’язаний з кінетичною енергією співвідношенням 
, підставивши в цей вираз E і P з (4.27), отримаємо:
.(4.29)
Множемо (4.29) на Ψ і переносимо доданок 
в ліву частину. Отримаємо рівняння:
, (4.30)
яке співпідає з (4.24).
Якщо в рівнянні (4.25) функцію U розглядати як оператор (оператор – це правило, за допомогою якого одній функції ставиться у відповідність інша функція)
і ввести інший оператор 
, рівний сумі операторів (
) і U, тоді рівнянню (4.30) можна придати вигляд:
(4.31)
де оператор називають гамільтоніаном, який являється оператором енергії.
· Зміст Ψ-функції.
Правильну інтрепрітацію Ψ-функції дав М. Борн (нім. фізик, 1882 – 1970) у 1926 р. Згідно Борну квадрат модуля Ψ-функції визначає густину ймовірності, тобто ймовірність віднесену до одиниці об’єму, виявлення частинки в відповідному місті простору в даний момент часу. Якщо густина ймовірності відмінна від нуля в обмеженому об’ємі dV, тоді інтеграл від добутку Ψ-функції на її комплексно-спряжену по даному об’єму має дорівнювати 1:
|
|
|
. (4.32)
Умова (4.32) називається умовою нормування, а Ψ-функції, що задовільняють даній умові – нормованими. Отже, квантова механіка має чисто статистичний характер і дає можливість передбачати ймовірність виявлення частинки в різних точках простору.
Найпростіші приклади рішення рівняння Шредінгера
У рівняння Шредінгера в якості параметра входить повна енергія частинки Е. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння типу мають рішення не при любих значеннях Е, а тільки при деяких вибраних, що називаються власними значеннями даного параметра. Рішення, що відповідають власним значенням Е, називаються власними функціями даної задачі. Знайдем власне значення енергії Е і власні функції, що їм відповідають, для декількох задач.
1. Частинка в одномірній потенціальній ямі.
Припустимо, що частинка може рухатися тільки вздовж вісі х, при цьому рух обмежений непроникними стінами, коли для х<0 і х>l U=∞, а для 0≤х≤ l U=0. Визначемо енергію частинки в такій ямі, тобто знайдемо власні значенні даного параметра і власні функції Ψ(х). Застосовуємо рівняння Шредінгера в вигляді (4.15) з врахуванням, що випадок одномірний:
. (4.33)
Згідно умови, частинки за межами х<0 і х>l нема, відповідно 
, тоді з врахуванням того, що в цій області, де 
маємо з (4.33):
. (4.34)
Вводимо позначення
(4.35)
Отримаємо рівняння
(4.36)
Його рішення має вигляд:
або
(4.37)
Використовуємо граничні умови (4.34) і підставляємо їх у рішення (4.37), в результаті отримаємо:
що можливо тільки при
. (4.38)
З рівнянь (4.35) і (4.38) знаходимо власні значення енергії частинки:
,(4.39)
тобто отримаємо квантовані значення енергії частинки, причому значення енергії дуже сильно залежать від розміру потенціальної ями. Наприклад: електрон у ямі розміром l ~1см, m = 9,1×10-28г.
.
Для різниці енергій маємо 
, тобто практично суцільний спектр, а не дискретний спектр енергій. Але при розмиірах потенціальної ями порядка атома, коли l ~10-7см, ми отримаємо 
. Тут відстані між рівнями вже є суттєво дискретними. Для знаходження власних функцій необхідно визначити значення амплітуди y y-функції, що можна зробити, використовуючи умову нормування хвильових функцій. У нас 
. Тоді умова нормування дає
.
Згідно умови, підінтегральна функція на кінцях проміжку інтегрування перетворюється в нуль, тоді значення інтеграла отримується як добуток середнього значення 
на l, тобто 
звідси 
. Отже, власні функції мають значення:
(4.40)
Графік цих функцій має вигляд а), а для густини ймовірності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями 
має вигляд б). З графіка випливає, що в стані з n=2, частинка не може бути виявлена на середині ями, хоча однаково часто буває як в лівій так і в правій частинах, тобто частинка траєкторії не має (згідно класичної фізики положення частинки рівноймовірно).
|
