Загальне рівняння прямої

Розглянемо на площині прямокутну систему координат і знайдемо рівняння прямої, коли відомий вектор її нормалі і задано точку на цій прямій. Нехай – довільна точка шуканої прямої (рис. 5).

Рис. 5.

За умовою вектор перпендикулярний до вектора . Тому їх скалярний добуток . Звідси маємо рівняння

(11)

або

(12)

Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

На відміну від рівняння виду (11) змінні входять до рівняння (12) рівноправно. Рівняння (11) завжди можна подати у вигляді (12).

Рівняння прямої (12) можна записати у вигляді лише за умови .

Коефіцієнт при у загальному рівнянні прямої є проекціями на координатні осі вектора її нормалі .

Спавджується теорема.

Теорема 1. Будь-яка пряма на площі може бути задана лінійним рівнянням виду (12). Кожне лінійне рівняння виду (12), де , визначає деяку пряму.

Нехай – координати довільної точки на площині. Пряма (12) поділяє свою площину на дві півплощини. В одній півплощині виконується нерівність . На самій прямій маємо: .

Розглянемо частинні випадки рівняння (12):

Ø якщо , то пряма паралельна осі ;

Ø якщо , то пряма паралельна осі ;

Ø якщо , то пряма проходить через початок координат;

Ø якщо , , то пряма збігається з віссю ;

Ø якщо , , то пряма збігається з віссю .

Нагадаємо, що пряма проходить перпендикулярно до вектора .