Розглянемо на площині прямокутну систему координат і знайдемо рівняння прямої, коли відомий вектор її нормалі і задано точку на цій прямій. Нехай – довільна точка шуканої прямої (рис. 5).
Рис. 5.
За умовою вектор перпендикулярний до вектора . Тому їх скалярний добуток . Звідси маємо рівняння
(11)
або
(12)
Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.
На відміну від рівняння виду (11) змінні входять до рівняння (12) рівноправно. Рівняння (11) завжди можна подати у вигляді (12).
Рівняння прямої (12) можна записати у вигляді лише за умови .
Коефіцієнт при у загальному рівнянні прямої є проекціями на координатні осі вектора її нормалі .
Спавджується теорема.
Теорема 1. Будь-яка пряма на площі може бути задана лінійним рівнянням виду (12). Кожне лінійне рівняння виду (12), де , визначає деяку пряму.
Нехай – координати довільної точки на площині. Пряма (12) поділяє свою площину на дві півплощини. В одній півплощині виконується нерівність . На самій прямій маємо: .
Розглянемо частинні випадки рівняння (12):
|
|
Ø якщо , то пряма паралельна осі ;
Ø якщо , то пряма паралельна осі ;
Ø якщо , то пряма проходить через початок координат;
Ø якщо , , то пряма збігається з віссю ;
Ø якщо , , то пряма збігається з віссю .
Нагадаємо, що пряма проходить перпендикулярно до вектора .