Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Тема: Пряма на площині

1.Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

2. Кут між прямими.

3. Загальне рівняння прямої

4. Взаємне розташування двох прямих

5. Відстань від точки до прямої

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай на площині задано пряму у прямокутній системі координат х, у. Кут між віссю і цією прямою називається кутом нахилу прямої до осі. Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом розглядуваної прямої. Якщо ця пряма перетинає вісь у точці з координатами , то число називається початковою ординатою. Візьмемо довільну точку на прямій (рис. 1).

Рис. 1

З прямокутного трикутника МВА знаходимо рівняння прямої

,

яке можна подати у вигляді

, де . (1)

Якщо розглядувана пряма паралельна осі , то і не існує. При цьому пряма має рівняння виду (рис. 2).

Рис. 2

Координати будь-якої точки , що належить прямій, задовольняють рівняння (1). Якщо пряма (1) проходить через точку , то справджується рівність

,

віднімаючи почленно цю рівність від рівності (1), дістанемо рівняння прямої, що проходить через задану точку:

. (2)

Зі зміною кутового коефіцієнта в рівнянні (2) утворюються різні прямі, що проходять через точку . Рівняння (2) називається рівняння пучка (в’язки) прямих (рис. 3).

Рис. 3

Нехай дано дві різні точки , , де . З рівняння (2) випливає вираз для кутового коефіцієнта прямої, що проходить через точки :

(3)

Підставляючи в (3) рівняння (2), знаходимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки , :

(4)

Якщо задано вектор , паралельній деякій прямій, і точку на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у вигляді

Вектор називається напрямним вектором прямої.

Щоб побудувати графік прямої, достатньо знати дві її різні точки і через них провести пряму. Якщо пряма перетинає осі координат у точках , , , , то її можна записати рівнянням

(5)

Яке називається рівнянням прямої у відрізках на осях.