2015-06-28
919
Задача вычисления расстояния между двумя точками является метрической задачей. Метрические задачи, как правило, решают в прямоугольной системе координат.
Задача. В прямоугольной системе координат даны точки А и В своими координатами. Вычислить расстояние между этими точками.
Дано:
R= (O, 
)
А(xL;yL;zL)
B(xB;yB;zB)
Вычислить: │АВ│ Рис.3
Решение.
│АВ│  |
Заметим, что │ АВ │=│ 
│. Так как модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов координат вектора, учитывая, что = ={xB−xL; yB−yL}, получаем (3)
5. Деление отрезка в данном отношении.
Пусть дана прямая ℓ и точки А, В и С принадлежащие прямой ℓ.
Определение. Отношением, в котором точка С делит отрезок АВ называется число 
. Обозначение λС=(АВ,С).
Число λ может принимать как положительные так и отрицательные значения. Так, на рис. 4 а) векторы 
и 
сонаправлены и, поэтому, λ > 0; то есть точка С лежит на отрезке АВ. В случае, приведённом на рис.4б), и противоположно направлены и, следовательно, λ < 0, а точка С лежит вне отрезка АВ. Число λ не может принимать значение равное − 1, так как в этом случае = − => = 
=> А = В, что означает отрезов вырождается в точку.
Задача. В аффинной системе координат даны точки А и В своими координатами и известно отношение, в котором точка С делит отрезок АВ. Вычислить координаты точки С.
Дано:
R=(О, 
).
А(xL;yL), B(xB;yB)
(АВ,С) = λС
Найти: С(xC, yC).
Решение.
По определению 
=> = λС* . Так как 
и 
то 
=> 
.
Векторы 
− радиус-векторы точек А, В, и С, поэтому
.
По теореме о координатах линейной комбинации векторов имеем:
 ,  |
(4)
Следствие. Если точка С является серединой отрезка АВ, то λС = 1. => Середина отрезка имеет координат 
, 
.
