Доказательство прямых теорем.
Пусть даны две прямые и , в некоторой системе координат их можно задать уравнениями с направляющим вектором и с направляющим вектором .
1) Рассмотрим систему Система имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда , т.е. или .
2) , следовательно, , откуда . Рассмотрим систему . Умножим второе уравнение системы на и сложим с первым. Получаем систему вида . Последняя система не имеет решения, если . Т.е. получаем .
3) Т.к. , следовательно , если – система имеет бесконечно много решений, если .
Доказательство обратных теорем.
Пусть даны две прямые и . Рассмотрим систему .
1) если система имеет единственное решение, , , , откуда .
2) Если , , . Система примет вид – первое уравнение не имеет решений, значит вся система не имеет решений, следовательно .
3) Если , , . Система примет вид – система имеет бесконечно много решений.
Теорема доказана.
Если прямые пересекаются , Запишем систему . Координаты точки пересечения прямых можно найти по формулам
(3.1)
|
|