2015-06-28
432
Блок теоретических материалов «Частные случаи расположения прямой на плоскости относительно системы координат»
Пусть 
– аффинный репер, 
– уравнение некоторой прямой, где 
– направляющий вектор.
1) Если 
, тогда 
, следовательно, уравнение прямой примет вид 
. Откуда 
. Следовательно, прямая параллельна оси 
.
2) Если 
, тогда 
, следовательно, уравнение прямой примет вид 
. Откуда 
. Следовательно, прямая параллельна оси 
.
3) 
, следовательно, уравнение прямой примет вид 
. 
, тогда 
– верно. Значит, проходит через точку .
4) 
, следовательно, уравнение прямой примет вид 
или 
– уравнение оси .
5) 
, следовательно, уравнение прямой примет вид 
или 
– уравнение оси .
Пример 2.1. Определите расположение прямых относительно системы координат
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
;
e) 
.
Решение.
Из ранее изученного вами материала известно, что общим уравнением прямой называется прямая в виде .
a) . Заданное уравнение можно переписать в виде 
. Следовательно , откуда, в соответствии с пунктом 4) получаем, что прямая совпадает с осью .
b) . Заданное уравнение можно переписать в виде 
. Следовательно , откуда, в соответствии с пунктом 3) получаем, что прямая проходит через начало координат.
c) . Заданное уравнение можно переписать в виде 
. Следовательно , откуда, в соответствии с пунктом 1) получаем, что прямая параллельна оси .
d) . Заданное уравнение можно переписать в виде 
. Следовательно , откуда, в соответствии с пунктом 3) получаем, что прямая параллельна оси .
e) . Заданное уравнение можно переписать в виде 
. Следовательно , откуда, в соответствии с пунктом 5) получаем, что прямая совпадает с осью .
Ответ. а) Прямая, заданная уравнением совпадает с осью .
b) Прямая, заданная уравнением проходит через начало координат.
c) Прямая, заданная уравнением параллельна оси .
d) Прямая, заданная уравнением параллельна оси .
e) Прямая, заданная уравнением совпадает с осью .
Рассмотрим прямоугольную систему координат 
и прямую 
. – направляющий вектор прямой, 
– главный вектор прямой.
Докажем, что вектор является нормальным вектором к прямой 
. Для этого найдем скалярное произведение 
. Откуда получаем 
. 
– нормальный вектор прямой .
Пример 2.2. Докажите, что вектор 
является нормальным вектором прямой 
.
Доказательство. Пусть заданный вектор является нормальным вектором прямой . Из задания уравнения прямой имеем 
– ее направляющий вектор. Если вектор является нормальным вектором заданной прямой, то скалярное произведение 
должно ровняться нулю. Проверим это,
