Информационно-познавательный блок

Блок теоретических материалов «Расстояние от точки до прямой»

Пусть – прямоугольная система координат. Необходимо определить расстояние от точки до прямой .

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую (если точка принадлежит прямой, то расстояние равно нулю).

Пусть – произвольная точка прямой, – нормальный вектор, .

Таким образом,

. (4.1)

Пример 4.1. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение. Воспользуемся формулой (4.1):

.

Ответ. 4,7.

Пример 4.2. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми и .

Решение. Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой . Ее ордината будет .

Итак, на первой прямой выбрана точка . Найдем теперь расстояние от этой точки до второй прямой по формуле (4.1):

.

Ответ. .

Пример 4.3. Дана прямая . Найти уравнение прямой, параллельной данной и находящейся от нее расстоянии 3.

Решение. Так как искомых прямых будет 2 (они расположены по две стороны от данной прямой на расстоянии 3).

Уравнение семейства прямых, параллельных данной, будет следующим:

.

Пусть произвольная точка прямой . Определим искомые прямые, воспользовавшись формулой (4.1):

При раскрытии модуля получаем или . После приведения подобных получаем или .

Ответ: или .