Определение. Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y Ф(х,у) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они

Прямая на плоскости

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y Ф(х,у) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии: , где функции непрерывны по параметру t.

1) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

2) Частные случаи

Значение коэффициента	Вид уравнения	Положение прямой
С=0	Ax+By=0 y=kx	проходит через начало координат
A=0	By+C=0 y=b	параллельна оси Ox
B=0	Ax+C=0 x=a	параллельна оси Oy
A=C=0	y=0	совпадает с осью Ox
B=C=0	x=0	совпадает с осью Oy

3) Векторное уравнение

Пусть М₀(х₀,у₀) – заданная точка прямой, - ненулевой вектор, перпендикулярный прямой (он называется нормальным вектором прямой). Тогда векторное уравнение прямой имеет вид

где М(х,у) – произвольная точка на прямой и вектор - вектор, перпендикулярный вектору нормали. Если переписать уравнение в координатной форме, то получим

4) Уравнение прямой в «отрезках»

Если , то после преобразования общего уравнения имеем

где a и b – соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ox и Oy.

5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если , то после преобразования общего уравнения имеем

где - угловой коэффициент, b – начальная ордината.

6) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через две точки А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂). Тогда ее уравнение

где - направляющий вектор данной прямой.

7) Канонические уравнения прямой

Пусть М(х₀,у₀) – заданная точка прямой, а - направляющий вектор прямой. Тогда канонические уравнения прямой на плоскости имеют вид

8) Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим канонические уравнения прямой и введем параметр t

. Тогда получим систему, которая дает параметрические уравнения прямой на плоскости

9) Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении

Уравнение прямой, проходящей через точку А(х₁,у₁) под углом φ к положительному направлению оси О_х, имеет вид , где k=tgφ – угловой коэффициент прямой.

10) Угол между двумя прямыми

Если прямые заданы общими уравнениями и , то

Угол φ между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ определяется из соотношения

Угол φ между прямыми, заданными каноническими уравнениями определяется из соотношения

Данные формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

11) Условие параллельности прямых

Если прямые заданы общими уравнениями и , то они параллельны в случае .