Определение. Пучком прямых на плоскости с центром в точке S называется множество всех прямых плоскости, проходящих через точку S

Пучком прямых на плоскости с центром в точке S называется множество всех прямых плоскости, проходящих через точку S.

Теорема 3 (о пучке прямых)

Пусть даны две прямые принадлежащие пучку прямых с центром в точке S

,

Тогда (32)

1. (32)- уравнение некоторой прямой пучка с центром в точке S.

2. Любая прямая пучка с центром в точке S имеет уравнение вида (32).

Д-во:

Перегруппируем левую часть уравнения (32)

1. (32’)

Необходимо определить степень уравнения. Уравнение (32’) может быть:

а) первой степени;

б) нулевой степени.

Нулевая степень будет тогда, когда и равны одновременно нулю:

Пусть , условие параллельности прямых противоречит условиям теоремы данное уравнение имеет первую степень.

Пусть - центр пучка.

имеется система уравнений:

прямая (32) принадлежит пучку с центром в точке S.

2. Пусть - произвольная точка плоскости, не лежащая ни на одной из данных прямых.

Рассмотрим прямую пучка L ₃, проходящую через данную точку. Подставим координаты в (32). Найдем , при которых данное уравнение верно для . Из (32):

Подставим найденное в (32):

Подставим координаты точки S в уравнение: .

Подставим координаты точки в уравнение (вместо ): .

данное уравнение является уравнением прямой , т.к. данному уравнению удовлетворяют координаты точек S и .

Теорема доказана

Пример:

1. Даны уравнения сторон треугольника:

Определить, не проходят ли они через одну точку (т.е., действительно ли это треугольник).

2. Найти уравнение прямой, на которой лежит высота, опущенная из вершины A.

Решение:

Найдем угловой коэффициент:

(условия перпендикулярных прямых).

Подставляем в уравнение пучка: