2015-06-28
4423
● Пример 28. Через точку пересечения прямых 
и 
провести прямую,
1) проходящую через начало координат;
2) проходящую через точку 
;
3) параллельную оси 
;
4) параллельную оси 
;
5) параллельную прямой 
;
6) перпендикулярную прямой ;
7) отсекающую на осях координат равные отрезки.
Анализ задачи Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и имеет вид 
- или
. (3.15)
Вектор 
- нормальный вектор этого пучка прямых.
Из системы 
имеем 
, 
, т.е. точка 
- точка пересечения данных прямых.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,
1) проходящую через начало координат;
1) Первый способ. Так как искомая прямая принадлежит пучку прямых и проходит через начало координат, то из . (3.15)
следует 
. Выбрав 
, получим 
. Искомое уравнение имеет вид 
или 
.
Второй способ. Так как искомая прямая проходит через начало координат, то уравнение этой прямой имеет вид 
. Точка принадлежит этой прямой, поэтому 
, откуда при 
, 
и - уравнение искомой прямой.
|
|
|
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,
2) проходящую через точку ;
2) Первый способ. Точка 
принадлежит пучку прямых, поэтому из . (3.15)
имеем 
, откуда 
, 
, 
и 
- уравнение искомой прямой.
Второй способ. Искомая прямая проходит через точки и , поэтому её уравнение 
или .
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,
3) параллельную оси ;
3) Первый способ. Если прямая параллельна оси , то общее уравнение этой прямой не содержит переменной 
, т.е. в уравнении
. (3.15)
. Откуда при 
и уравнение искомой прямой 
или 
.
Второй способ. Так как искомая прямая параллельна оси , то её общее уравнение не содержит переменной и имеет вид 
. Точка принадлежит этой прямой, поэтому 
, откуда при 
, 
и - уравнение искомой прямой.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,
4) параллельную оси ;
4) Первый способ.
. (3.15)
Если прямая параллельна оси , то 
. Полагая 
получим . Уравнение искомой прямой имеет вид 
или 
.
Второй способ. Так как искомая прямая параллельна оси , то вектор 
является направляющим вектором этой прямой. Искомая прямая проходит через точку .
или - уравнение искомой прямой.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,
5) параллельную прямой ;
5) Первый способ.
. (3.15)
- нормальный вектор данной прямой. Так как прямые параллельны, то 
и 
, откуда при 
и 
- уравнение искомой прямой.
Второй способ. Искомая прямая параллельна прямой , поэтому вектор 
является нормальным вектором обеих прямых. Искомая прямая проходит через точку . Учитывая предыдущее, имеем 
или .
|
|
|
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,
6) перпендикулярную прямой ;
6) Первый способ.
. (3.15)
- нормальный вектор данной прямой. Так как прямые перпендикулярны, то 
и скалярное произведение нормальных векторов этих прямых равно нулю, т.е. 
, откуда при 
и уравнение искомой прямой 
.
Второй способ. Нормальный вектор данной прямой является в этом случае направляющим вектором искомой. Учитывая, что прямая проходит через точку , имеем 
или - уравнение искомой прямой.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и провести прямую,
7) отсекающую на осях координат равные отрезки.
7) Первый способ.
. (3.15)
Так как прямая отсекает от координатных осей отрезки одинаковой длины, то 
.
Если 
,то 
, а 
может быть выбрано произвольно. В частности, при 
и искомое уравнение прямой .
При 
имеем 
откуда при 
, и 
- уравнение искомой прямой.
Второй способ. Так как прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то уравнение прямой в «отрезках» имеет вид 
. Координаты точки удовлетворяют уравнению 
, поэтому 
, откуда 
и - уравнение одной из искомых плоскостей.
Координаты точки удовлетворяют уравнению 
, поэтому 
, откуда 
и - уравнение плоскости, отсекающая на осях координат равные «отрезки».
Ответ: 1) ; 2) ;3) ;
4) ; 5) ; 6) :
7) , .
● Пример 29. Провести прямые, параллельные прямой 
, и отстоящие от неё на расстоянии двух единиц.
Решение. Приведём уравнение прямой к нормированному виду. Нормальный вектор данной прямой 
, и свободный член положителен, поэтому нормирующий множитель равен - 
.Тогда 
- нормированное уравнение прямой. Так как отклонение 
искомых прямых от данной равно 
, то 
, откуда 
и 
- искомые уравнения.
Ответ: , .
● Пример 30. Сторона 
треугольника 
(рис.3.28) лежит на прямой 
Через вершину 
проведены биссектриса и высота. Составить уравнения остальных сторон этого треугольника, если 
- уравнение
Рис. 3.28 биссектрисы, а точка 
- основание высоты.
Решение. Обозначим через 
точку пересечения прямой 
и данной биссектрисы. Точка есть общая точка прямых и 
, поэтому её координаты удовлетворяют системе 
и 
.
Вектор 
перпендикулярен прямой , поэтому в качестве нормального вектора этой прямой может быть выбран вектор 
.
. Точка принадлежит этой прямой, поэтому 
и 
.
На прямой выберем произвольную точку 
, отличную от , например, 
. Пусть точка 
проекция точки на биссектрису. Тогда вектор 
параллелен нормальному вектору биссектрисы 
, откуда 
и 
. Найдем точку 
, симметричную точке относительно биссектрисы.
, 
.
Сторона 
принадлежит пучку 
с центром в точке . Точка принадлежит прямой , поэтому 
, 
. Полагая , имеем 
и 
- уравнение стороны .
Ответ: 
, .
