Звичайні жорданові виключення (ЗЖВ)

Розглянемо систему лінійних функцій y₁, y₂, ¼, y_m від n лінійних змінних х₁, х₂, ¼, х_nу скороченому запису:

(2.1)

де змінні х_j (j = ) - незалежні, а y_i (і = ) - залежні.

Зобразимо цю систему у табличному вигляді:

	x₁	x₂	¼	x_s	¼	x_n
y₁	a₁₁	a₁₂	¼	a_1s	¼	a_1n
y₂	a₂₁	a₂₂	¼	a_2s	¼	a_2n	(2.2)
¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼
y_k	a_k1	a_k2	¼	[a_ks]	¼	a_kn
¼	¼	¼	¼		¼	¼
y_m	a_m1	a_m2	¼	a_ms	¼	a_mn

Таблиця (2.2) називається жордановою.

ЇЇ властивість: якщо елементи к-го рядка а_kj () помножити на відповідні незалежні змінні х_j () та ці добутки додати, то отримаємо залежну змінну у_к ().

Систему (2.2) необхідно перетворити таким чином, щоб залежна змінна у_кпісля перетворення стала незалежною, а незалежна змінна х_s - залежною.

Нехай у цій системі елемент а_ks¹ 0. Із к-го рівняння знаходимо:

(2.3)

Змінну х_s, виражену через у_кта решту незалежних змінних (2.3), підставимо у решту рівнянь і зведемо подібні члени:

i ¹ k (2.4)

У перетвореній системі позначимо через b_ij чисельник коефіцієнта при x_j() в і-му () рівнянні:

b_ij = a_ija_ks - a_isa_kj (2.5.)

Перепишемо рівняння у вигляді:

(2.6)

Системи (2.4) і (2.6) запишемо у формі жорданової таблиці:

	х₁	х₂	¼	х_s	¼	х_n
у₁	в₁₁	в₁₂	¼	a_1s	¼	в_1n	у₁
у₂	в₂₁	в₂₂	¼	a_2s	¼	в_2n	у₂
¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	: a_ks
x_s	а_k1	а_k2	¼	[1]	¼	а_kn	x_s
¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼	¼
у_m	в_m1	в_m2	¼	a_ms	¼	в_mn	у_m

Наведене вище перетворення називають кроком жордановоговиключення. Перехід від жорданової таблиці (2.2) називають кроком ЗЖВ із розв'язувальним елементом а_ks _.

Один крок ЗЖВ із розв¢язувальним елементом а_ksзручно розбити на такі операції:

1) розв¢язувальний елемент замінюється одиницею;

2) решта елементів розв¢язувального s-го стовпця залишається без змін;

3) решта елементів розв¢язувального к-го рядка змінюють лише знаки;

4) елементи, які не належать до розв¢язувальних рядків та стовпців, визначаються за правилом прямокутника:

b_ij = a_ija_ks - a_isa_kj

де і, к - рядки, j,s -стовпці;

5) всі елементи нової таблиці діляться на розв¢язувальний елемент а_ks.

Якщо діагональ прямокутника, на якій міститься розв¢язувальний елемент, назвати головною, а іншу - побічною, то правило прямокутника можна с формулювати таким чином: перетворений елемент в_i_j дорівнює різниці добутків елементівголовної та побічної діагоналей. Це правило залишається справедливим для розв¢язувального елемента, який розміщується в будь-якій вершині прямокутника.

Зазначимо, що коли у розв¢язувальному рядку (стовпці) є нульові елементи, то решта елементів відповідних стовпців (рядків) після одного кроку ЗЖВ залишається без змін. Це впливає з (2.5): при а_i_s= 0 або а_k_j= 0

Якщо у жордановій таблиці m<=n і всі рядки лінійно незалежні, то за m послідовних кроків ЗЖВ всі залежні змінні у_і() (можна перетворити на незалежні).

Приклад

Систему лінійних функцій