Деление отрезка в данном отношении

Определение. Говорят, что точка делит отрезок, соединяющий точки и , в данном отношении , если вектор равен произведению вектора на число , т.е. .

Согласно определению, точка делит отрезок, соединяющий точки и в данном отношении если

1) точка лежит на прямой, проходящей через точки и , причем

а) точка лежит между точками и , при ,

б) точка лежит вне отрезка, соединяющего точки и , при

2)

При этом разумеется, что точка не совпадает ни с одной из точек и

Теорема. Если точка делит отрезок, соединяющий точки и в данном отношении , причем , то для координат точки справедливы следующие равенства:

; ;

Доказательство. Пусть точка делит отрезок, соединяющий точки и , в данном отношении . Тогда по определению , и потому по отношению к любой оси справедливо равенство

,

или, с учетом теоремы о проекции на ось произведения вектора на скаляр,

.

Возьмем в качестве оси ось и применим теорему о проекции вектора на числовую ось. При этом получим

,

откуда следует, что

.

Вполне аналогично можно доказать справедливость остальных равенств, указанных в формулировке теоремы.

Частный случай. Координаты точки, делящей отрезок пополам (при этом ), равны среднему арифметическому соответствующих одноименных координат концов отрезка, т.е. ; ; .