2015-06-28
1723
Определение. Говорят, что точка 
делит отрезок, соединяющий точки 
и 
, в данном отношении 
, если вектор 
равен произведению вектора 
на число , т.е. 
.
Согласно определению, точка делит отрезок, соединяющий точки и в данном отношении если
1) точка лежит на прямой, проходящей через точки и , причем
а) точка лежит между точками и , при 
,
б) точка лежит вне отрезка, соединяющего точки и , при 
2) 
 | |||
 | |||
При этом разумеется, что точка
не совпадает ни с одной из точек и
Теорема. Если точка 
делит отрезок, соединяющий точки 
и 
в данном отношении , причем 
, то для координат точки справедливы следующие равенства:
; 
; 
Доказательство. Пусть точка делит отрезок, соединяющий точки и , в данном отношении . Тогда по определению , и потому по отношению к любой оси 
справедливо равенство
,
или, с учетом теоремы о проекции на ось произведения вектора на скаляр,
.
Возьмем в качестве оси ось 
и применим теорему о проекции вектора на числовую ось. При этом получим
,
откуда следует, что
.
Вполне аналогично можно доказать справедливость остальных равенств, указанных в формулировке теоремы.
Частный случай. Координаты точки, делящей отрезок пополам (при этом 
), равны среднему арифметическому соответствующих одноименных координат концов отрезка, т.е. 
; 
; 
.
