Механика Ньютона

Классическая механика Ньютона базируется на трех главных законах движения. Первый закон Ньютона (принцип инерции) гласит: тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению его массы на ускорение, т.е.

Р_х = m(dw/dt) н (336)

Наконец, третий закон Ньютона утверждает, что действию всегда есть равное и противоположно направленное противодействие.

Из второго и третьего законов Ньютона непосредственно выводится так называемый закон сохранения количества движения К – формула (201). Для этого уравнение (336) переписывается в виде

Р_хdt = d(mw) = dК. (337)

Такой результат возможен, если массу считать величиной постоянной, только тогда ее допустимо ввести по знак дифференциала. При взаимодействии двух тел сила действия равна силе противодействия (третий закон). Время взаимодействия dt у обоих тел общее. Поэтому импульс силы, определяемый левой частью равенства (337), у них одинаков. В результате изменение количества движения первого тела равно и противоположно по знаку изменению количества движения второго, а сумма количества движения, как и сумма импульсов, обоих тел сохраняется неизменной, т.е.

= = const. (338)

Это равенство выражает закон сохранения количества движения (импульса) для n взаимодействующих тел. Из него элементарным способом выводится так называемый закон сохранения момента количества движения – спина (227). Отсюда непосредственно следует, что все заключения, касающиеся закона сохранения количества движения, в равной мере относятся также и к закону сохранения момента количества движения.

На основе перечисленных законов было развито очень стройное здание классической механики, которую применяют для изучения всех видов механического движения самых разнообразных тел, начиная от микромира и кончая мега- и гигамирами. Нетрудно показать, что законы Ньютона, а следовательно, и вся классическая механика вытекают как частные случаи из законов общей теории.

Действительно, первый закон Ньютона есть следствие законов экстенсора и состояния общей теории. Согласно уравнению закона состояния (29),

dР_х = А_ххdх + А_хtdt + A_xmdm + А_хдбdЕ_дб + А_хQdQ +... н; (339)

dР_t = А_tхdх + А_ttdt + A_tmdm + А_tдбdЕ_дб + А_tQdQ +... сек; (339)

dР_m = d(w²) = А_mхdх + А_mtdt + A_mmdm + А_mдбdЕ_дб + А_mQdQ +... м²/сек²; (339)

dn = А_дбхdх + А_дбtdt + A_дбmdm + А_дб.дбdЕ_дб + А_дбQdQ +... 1/сек; (339)

dТ = А_Qхdх + А_Qtdt + A_Qmdm + А_QдбdЕ_дб + А_QQdQ +... град. (339)

С целью сокращения это уравнение записано только для метрической, хрональной, кинетической, дебройлевской и термической элат. Если тело изолировано, т.е. ограждено от внешних воздействий, тогда, согласно закону сохранения, изменения всех экстенсоров также равно нулю – третья строчка уравнения (339). Только воздействие на тело извне может изменить величину экстенсоров и нарушить состояние его движения. В этом и заключается суть первого закона.

Второй закон Ньютона выводится несколькими способами. Например, согласно закону диссипации (183), для кинетиаты имеем

dQ_д = - dР_дdЕ = - dР_mдdm = - (dw²)dm = - 2wdwdm дж. (340)

Требуется разобраться в физическом смысле величин, входящих в правую часть этого выражения.

У многих других элат переносимый (подвижный) экстенсор dЕ органически не связан с интенсиалом, в том числе с разностью интенсиалов dР_д, системы. Поэтому при данном (конечном) dР_д количество прошедшего сквозь систему экстенсора dЕ может быть любым конечным – все зависит от произвольно выбираемой длительности процесса.

У кинетиаты дело обстоит несколько иначе. У нее величина dm может быть любой, в том числе и конечной (m). Однако при этом процесс имеет и существенную специфику: перенос массы m в кинетиате связан не с ее происхождением сквозь систему, а с присоединением или отщеплением от системы. В этом процессе присоединяемая (или отщепляемая) масса m остается постоянной. Она изменяет лишь свою скорость на величину dw на пути dх за вполне определенное время соударения dt в строгом соответствии с уравнением состояния. Следовательно, в процессе переноса кинетиор m органически связан с кинетиалом w² и не допускает никакого произвола в выборе длительности взаимодействия.

Поэтому при интегрировании уравнения (340) требуется обязательно воспользоваться уравнением состояния, которое получается, например, если в формулах (304) и (339) пренебречь всеми степенями свободы, кроме кинетической. При А_mm = const уравнение состояния для присоединяемой массы имеет вид

w² = А_mmm.

Подставив отсюда величину m в уравнение (340) на место dm, после интегрирования найдем

Q_д = (1/2)m(w² - w₀²) дж. (341)

Здесь принято, что присоединяемая (или отщепляемая) масса изменяет свою скорость от w до w₀.

Работа силы диссипации Р_х, развиваемой в этом процессе на пути dх, определяется выражением

dQ_д = Р_хdх.

Продифференцировав уравнение (341) при m = const и приравняв правые части двух последних формул, будем иметь

Р_х = m(dw/dt) н,

что и требовалось доказать.

Как видим, анализ закона диссипации (340) позволил не только вывести уравнение второго закона Ньютона, но и установить несколько исключительно специфических особенностей кинетиаты. Об этих особенностях еще много будет сказано ниже.

Второй закон Ньютона получается также из первой строчки уравнения (339). При

А_хm = А_mх = dw/dt м/сек²

находим искомое соотношение

dР_х = dm(dw/dt) н.

Это соотношение относится к элементарной присоединяемой массе dm, которая, воздействуя на систему, создает элементарную силу dР_х.

Второй закон Ньютона может быть выведен также на основе закона переноса общей теории. Во всех случаях уравнение второго закона Ньютона, полученное с помощью законов общей теории, содержит не постоянную, а переменную массу. Это обстоятельство имеет чрезвычайно важное принципиальное значение для теории, и поэтому я его старательно подчеркиваю. В частности, при переменной массе исходное уравнение (336) Ньютона невозможно записать в виде соотношения (337) и перейти таким образом к понятию количества движения и закону сохранения последнего. Кстати, уже Галилей правильно определял силу через вызванное ею ускорение. Похоже понимал силу и Ньютон [39]. Позднее второй закон Ньютона стали выражать не через силу и ускорение – формула (336), а через импульс и изменение количества движения – формула (337), что, как мы видим, не всегда правильно. Из сказанного должно быть ясно следующее: понятие количества движения возникло из-за того, что создатели механики и их последователи с самого начала ограничились рассмотрением процессов с постоянной массой. Этому способствовали простейшие опыты по соударению тел. В ходе этих опытов, выполненных Реном, Мариоттом и самим Ньютоном, было найдено, что при ударе количество движения сохраняется неизменным [39]. При этом, однако, остается открытым вопрос о точности экспериментов.

Интересно отметить, что если в качестве кинетиора вместо массы использовать количество движения К, тогда уравнения (339) и (340) не удовлетворяются и не приводят ко второму закону Ньютона. Это лишний раз должно свидетельствовать о том, что величина К не может служить кинетиором. В дальнейшем выражения (339) и (340) явятся основой для вывода закона всемирного тяготения Ньютона. Это обстоятельство следует рассматривать как главное и неопровержимое доказательство факта тождественности инерционной и гравитационной масс.

Третий закон Ньютона есть следствие законов сохранения энергии и экстенсора общей теории. Закон экстенсора гласит о том, что перемещение на величину dх контрольной поверхности со стороны окружающей среды равно такому же перемещению со стороны системы. Согласно закону энергии, совершаемые при этом работы со стороны окружающей среды и системы равны по величине и противоположны по знаку. Это значит, что силы, действующие со стороны окружающей среды (Р_хс) и системы (Р_хси), между собой равны и направлены в противоположные стороны, т.е.

Р_хс = - Р_хси н.

Третий закон Ньютона можно трактовать в более широком смысле, тогда под силой можно понимать любой из интенсиалов.

Как видим, все три закона Ньютона, а следовательно, и вся классическая механика вытекают из общей теории в качестве частных случаев. Классическая механика представляет собой единственный пример великолепно разработанной теории, детали и общие принципы которой не претерпевают заметных изменений или исправлений. Недаром на памятнике Ньютону в Кембридже высечены слова: «Разумом он превосходил род человеческий».

Общая теория рассматривает во взаимной связи все элаты, включая кинетическую, которая является предметом изучения механики. Такая более широкая трактовка явлений позволяет одни результаты механики обобщить, а другие несколько ограничить определенной областью применения. Например, второй закон Ньютона общая теория обобщает на случай переменной массы, а третий – на все элаты.

Ограничения касаются в основном трех вопросов – диссипации, микромира и закона сохранения количества движения. Если с число принципов механики включить закон диссипации, то ее методы можно строго относить и к реальным системам. При этом становится понятной известная приближенность первого закона Ньютона, ибо всякое движение всегда сопровождается диссипацией. Следовательно, идеальных инерциальных систем не существует. Как это ни парадоксально, но мы вынуждены вновь вернуться, правда уже на новом уровне, к точке зрения Аристотеля, который более двух тысяч лет тому назад утверждал, что для любого движения требуется иметь постоянно действующую силу. При этом нельзя не отметить и другую его гениальную идею: под движением Аристотель понимал не только механическое перемещение, но и любое качественное или количественное изменение. Это расширенное понимание было изгнано из физики во времена Галилея [39].

Второе ограничение связано с микромиром. В микромире утрачивают силу обычные континуальные концепции пространства, времени и массы, используемые в классической механике. Поэтому применительно к микромиру механика Ньютона должна быть дополнена квантовыми представлениями общей теории.

Что касается закона сохранения количества движения, то он соблюдается не всегда. Это было доказано с помощью рассмотренной выше теоремы интенсиалов, а также может быть проиллюстрировано на простейшем примере соударения двух тел.