Глава 1. Множества

Понятие множества используется для описания совокупности предметов и объектов (по Г. Кантору – "многое, определяемое как единое"). При этом предполагается, что объекты данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность.

Отношение принадлежности Î читается " принадлежит множеству ". Запись означает, что не является элементом множества Знак "Î" является стилизацией первой буквы e греческого слова "edti" – есть, быть.

Отношение включения множеств Í означает, что каждый элемент множества является элементом множества . В этом случае говорят, что – подмножество множества . Употребляется равносильная запись . Множества и называются равными, если состоят из одних и тех же элементов, т.е. ( = ) Û ( Í и Í ).

Множество А называется собственным подмножеством множества , если Í , ¹ . В этом случае пишем Предполагаем также, что все встречающиеся множества являются подмножествами некоторого универсального множества U.

Свойства отношения включения:

1) Í (рефлексивность);

2) ( Í Í ) Þ = (антисимметричность);

3) ( Í Í ) Þ Í (транзитивность).

Если множество не является подмножеством множества , то существует х Î такой, что x Ï . Но если – пустое множество , то такого элемента нет. Поэтому считаем Í для каждого множества .