Операции над множествами. Пересечением множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат и

Пересечением множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат и одновременно, т.e.

Ç ={ x: x Î и x Î }.

Свойства пересечения:

1) Ç = (идемпотентность);

2) Ç = Ç (коммутативность);

3) ( Ç )Ç = Ç( Ç ) (ассоциативность);

4) ( Ç )Í , ( Ç )Í ;

5) ;

6) Ç = Û Í

Объединением множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат или или и одновременно, т.е.

È ={ или }.

Свойства объединения:

1) È = (идемпотентность);

2) È = È (коммутативность);

3) ( È ) È = È ( È ) (ассоциативность);

4) Í ( È B), B Í ( È ) (принцип расширения);

5) È = ;

6) È = Û Í

ТЕОРЕМА. 1) È( Ç ) = ( È )Ç( È );

2) Ç ( È ) = ( Ç ) È ( Ç ).

Доказательство. 1) È ( Ç ) Þ , или Ç Þ или , x Î . В обоих случаях по принципу расширения È и È Þ x Î( È )Ç( È ) Þ ( È( Ç ))Í (( È )Ç( È )). Аналогично доказывается включение (( È )Ç( È ))Í ( È ( Ç )). Из этих двух включений и следует доказываемое равенство (дистрибутивность объединения множеств относительно пересечения слева).

Второе утверждение теоремы (дистрибутивность пересечения относительно объединения) доказывается аналогично.

Разностью множеств и называется множество всех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат

\ = { : и }

(в иных обозначениях – дополнение до множества ).

Свойства разности множеств:

1) \ Í ;

2) ( \ ) Ç

3) ( Í ) Þ (( \ ) È = );

4) \ =