Функциональное представление векторов

Иногда приходится иметь дело с векторами многомерных ЛВП, имеющими очень много координат. Встречаются даже бесконечномерные пространства, как например, в квантовой механике.

Очевидно, что для такого вектора привести все координаты в явном виде практически невозможно. Однако в подавляющем большинстве случаев между отдельными координатами таких векторов можно установить взаимосвязь — она заключается в том, что соседние (в отношении их номеров) координаты имеют близкие значения. Это позволяет рассматривать координаты вектора как значения некоторой непрерывной алгебраической функции. Например, легко представить себе вектор, i -я координата которого удовлетворяет уравнению x_i = sin (i). Поэтому между векторами и функциями существует определенное соответствие, которое позволяет, с одной стороны, трактовать всякую функцию как бесконечномерный вектор, а с другой — экономно описывать векторы через функции. Такие функции называются функциональными представлениями векторов.

Например, широко использующиеся в квантовой механике волновые функции представляют собой функциональные представления квантовомеханических векторов состояния. Другими словами, каждое значение волновой функции является некоторой координатой вектора состояния.

В заключение подчеркнем, что векторы используются как математические модели некоторых физических или химических объектов. При этом, физико-химический смысл этих объектов никак не отражается на свойствах самих векторов, которые (свойства) всегда остаются постоянными и определенными лишь аксиомами линейной алгебры. Именно это и делает векторную модель универсальной. Одни и те же правила обращения с векторами мы можем применять для самых разных случаев. За абстрактными векторами могут стоять различные по природе объекты:

· геометрические векторы-стрелки,

· механические движения,

· химические реакции,

· смеси химических веществ и т.д.

Аналогично за абстрактными операциями сложения векторов и умножения их на число может стоять:

· сложение векторов-стрелок по правилу параллелограмма,

· перемещение объекта во времени или в пространстве,

· последовательное проведение химических реакций,

· смешивание нескольких веществ и т.д.

В тех же случаях, когда конкретные физико-химические особенности объектов имеют существенное значение, и мы не можем от них абстрагироваться, это означает, что векторная модель к ним неприменима.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение понятиям "вектор" и "векторное пространство". Какие векторные пространства называются линейными?

2. Дайте определение операциям, которые можно выполнять с векторами: сложение, умножение на число, разложение по базису, скалярное умножение, возведение в квадрат.

3. Для каких целей используется координатное представление векторов? Сколько координатных представлений может иметь заданный вектор?

4. В чем различие между векторами-строками и векторами-столбцами?

5. В чем различие между действительными и комплексными векторами?

6. В каких случаях необходимо использовать функциональное представление векторов?

7. Дайте определение понятиям "бра-вектор" и "кет-вектор".

8. Приведите формулы для вычисления модуля вектора и угла между двумя векторами.

9. В чем различие между двумя векторами

а) принадлежащими одному лучу?

б) не принадлежащими одному лучу?

10. Как производится нормировка вектора?