Пусть необходимо исчислить частное корреляционное отношение rAB.C, т.е. найти тесноту корреляционной связи явлений А и В при предварительной фиксации в них той части рассеяния значений, которая вызвана общими причинами с явлением С. Фиксация влияния С осуществляется следующей процедурой:
1. Строим ту часть А, в которой фиксировано остаточное рассеяние А при стабилизации С;
2. Строим ту часть В, в которой фиксировано остаточное рассеяние В при стабилизации С;
3. Коррелируя полученные таким образом элементы остаточного рассеяния, получаем требуемое корреляционное отношение.
При этом необходимо трижды решать задачу сопоставимости. Дабы не загромождать рисунок, воспользуемся уже известным результатом: вектор, фиксирующий рассеяние А при стабилизации В, получим, опуская перпендикуляр на . На Рис. 3 фиксирует рассеяние В при стабилизации С (в масштабе В); фиксирует остаточное рассеяние А при стабилизации С в масштабе А. Для коррелирования и необходимо тоже привести к масштабу явления А. Можно убедиться в том, что опять же в предположении линейного закона связи общих частей явлений это осуществимо путём параллельного переноса и есть уже в масштабе А. Для коррелирования сопоставленных величин опускаем перпендикуляр на . Отношение ║ ║ к ║ ║ даёт частное корреляционное отношение rAB.C.
Найдём геометрический аналог полученного построения. Поскольку ∆ cada – прямоугольный с прямым углом при вершине d, то частное корреляционное отношение rAB.C = cos φ. Используя стереометрические приёмы выражения угла φ при основании пирамиды через углы при её вершине, в [7] показано, что cos φ = (cos γ – cos α * cos β) / (sin α * sin β), или, что то же rAB.C = (rAB – rBC * rAC) / ( * ), что соответствует выражению (3).
Предложение 3: При линейной форме связи группы случайных величин их частные корреляционные отношения совпадает с частными коэффициентами корреляции.
В Таблице 3 приводится следующая схема построения частного корреляционного отношения:
Таблица 3
Схема исчисления частного корреляционного отношения
№ п/п | Логические операции | Содержание операции для случая линейной регрессии |
Исчисление единиц масштаба А, В и С | SA = 1 / ║ ║, SB = 1 / ║ ║, SС = 1 / ║ ║ | |
Сопоставление пар А и С, ВиС | Переход к = * SA, = * SB, = * SС | |
Стабилизация С | Аналогично операции стабилизации в схеме 1 | |
Коррелирование А и С, ВиС | rAС = (, ), rBС = (, ) | |
Очистка А от С, ВотС | = – = – * rAC, = – = – * rBC | |
Исчисление единиц масштаба остатков и | S() = 1 / S() = 1 / | |
Сопоставление и | Переход к = S() * = S() * | |
Стабилизация | Аналогично операции стабилизации в схеме 1 | |
Коррелирование остатков и | rAB.C = (, ) |
Для наглядности частного проецирования часть Рис. 3 выделена в отдельный Рис. 4. есть в масштабе . Опуская из вершины перпендикуляр на , получим , отражающий тучасть рассеяния значений А (уже предварительно очищенную от влияния С), в которой закреплено рассеяние А, объясняемое линейной зависимостью с В (тоже предварительно очищенным от С). В соответствии с выполненными построениями, в Таблице 4 предлагается следующая логическая схема построения частного показателя взаимосвязи.
Таблица 4
Схема исчисления частного показателя взаимосвязи
№ п/п | Логические операции | Содержание операции для случая линейной регрессии |
Исчисление единиц масштаба А, Ви С | SA = 1 / ║ ║, SB = 1 / ║ ║, Sс = 1 / ║ ║ | |
Представление С в масштабах Аи В | = SС(A) * , SС(A) = SС / SА, = SС(B) * , SС(B) = SС / SB | |
Проецирование С на Аи С на В. | ║ ║ = ║ ║ * rAС * SС(A), ║ ║ = ║ ║ * rBС * SС(B) | |
Очистка А от С и В от С | = – , = – | |
Исчисление единиц масштаба остатков | S() = 1 / ║ ║ * S() = 1 / ║ ║ * | |
Представление в масштабе | S = S() / S() | |
Проецирование остатков. Получение частного показателя взаимосвязи | bAB.C = rAB.C * ║ ║ * / ║ ║ * |
Выражение для bAB.C соответствует (3) – (5). Тем самым обосновано:
Предложение 4: При линейной форме связи группы случайных величин их частные показатели взаимосвязи совпадает с частными коэффициентами регрессии.