ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Понятие множества является фундаментальным понятием в математике. Под множеством понимают совокупность вполне определенных объектов, рассматриваемых как единое целое. Отдельные объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Природа объектов может быть самой различной. Например, можно говорить о множестве натуральных чисел, букв в алфавите, множестве стульев в комнате, студентов в группе, людей, живущих в Томске и т. п.
Для обозначения конкретных множеств принято использовать прописные буквы A, S, X,... Для обозначения элементов множества используют строчные буквы a, s, х,…
Множество X, элементами которого являются х1, х2, х3, обозначают: X = {x1, x2, х3}. Это первый способ задания множества – перечисление всех его элементов. Он удобен при рассмотрении конечных множеств, содержащих небольшое число элементов.
Второй способ задания множества – описательный. Он состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества.
|
|
Для указания того, что элемент х принадлежит множеству X, используется запись х Î X. Запись х Ï X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.
Так, если М – множество студентов группы, то множество X отличников этой группы записывается в виде
X = {х Î М | х – отличник группы}.
Это читается следующим образом: множество X состоит из элементов х множества М таких, что х является отличником группы.
Известные числовые множества обозначим следующим образом:
N = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел;
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Пустое множество обозначается Æ.
Пример. X = {х Î Z | х2 - х + 1 = 0} = Æ.
Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит множеству Y. Этот факт записывается как X Ì Y.
Два множества X и Y равны в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Равенство X = Y означает: если х Î X, то х Î Y и если у Î Y, то у Î X.
Для сокращения записи в теории множеств используются некоторые логические символы. Это символы общности " и существования $, а также символы следствия Þ и эквивалентности Û.
Смысл этих обозначений следующий:
" – «любой», «каждый», «для всех»;
$ – «существует», «найдется», «хотя бы один»;
Þ – «следует», «влечет»;
Û – «эквивалентно», «необходимо и достаточно».
Рассмотрим примеры использования этих символов.
1. Определение подмножества X Ì Y приводит к записи:
" х [х Î X Þ х Î Y].
2. Определение равных множеств X=Y приводит к записи: X = Y Û X Ì Y и Y Ì X.
Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов, и бесконечным, если число его элементов бесконечно.