ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе.
НАПРИМЕР.
1) Матрица имеет в стандартном базисе , , , пространства ℝ координаты . Действительно,
,
.
2) -мерный вектор имеет в стандартном базисе пространства ℝ координаты
3) Многочлен имеет в базисе , , , пространства ℝ координаты
В линейном пространстве свободных векторов координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе имеют простой геометрический смысл. Чтобы указать его, необходимо дать несколько определений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.
Пусть имеется некоторая ось и вектор . Обозначим через и ортогональные проекции на ось точек и соответственно. Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора на ось называется длина его векторной проекции на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор и ось сонаправлены, и со знаком минус – если вектор и ось противоположно направлены.
Проекцию вектора на ось обозначают: , .
Справедливо следующее утверждение.
ТЕОРЕМА 7. Координаты вектора в декартовом прямоугольном базисе , (, , ) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Проведем доказательство для вектора . Для вектора пространства оно будет аналогичным.
Построим вектор (вектор, с началом в точке и концом в точке , называется радиус-вектором точки ). Обозначим через и ортогональные проекции точки на ось и соответственно. Тогда
.
Так как – вектор единичной длины, то . Знак зависит от направления вектора : если ⇈ , то , если ⇅ , то (см. определение произведения вектора на число). Но согласно определению проекции вектора на ось, это означает, что – проекция вектора на ось, сонаправленную с вектором , т.е. на ось . Аналогично показывается, что .
Координаты вектора – очень важная характеристика вектора любого линейного пространства. Знание координат векторов позволяет легко выполнять с ними линейные операции, так как справедлива следующая теорема.
ТЕОРЕМА 8. 1) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , а вектор имеет в том же базисе координаты , то вектор будет иметь в базисе , , , координаты .
2) Если вектор имеет в базисе , , , координаты , то для любого числа ℝ вектор будет иметь в том же базисе координаты .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию , .
Тогда
и .
Из теоремы 8 вытекает справедливость следующего утверждения.
ТЕОРЕМА 9 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты –пропорциональны, т.е.
.
Причем, если коэффициент пропорциональности , то векторы и – сонаправлены, а если – то противоположно направлены
Координаты вектора определены в данном базисе единственным образом. Но в другом базисе вектор будет иметь другие координаты. Связь между координатами вектора в разных базисах дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 9. Пусть , , , и , , , два базиса линейного пространства . Причем имеют место равенства:
Если вектор имеет в базисе , , , координаты , а в базисе , , , – координаты , то справедливо равенство ,
где , , (матрицу называют матрицей перехода от базиса , , , к базису , , , ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
По условию .
Расписывая векторы , , , по базису , , , , получим:
.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
(1)
Так как по условию , то из (1) получаем:
или в матричном виде .