Простейшие задачи векторной алгебры

Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве () декартов прямоугольный базис , , (, ). Рассмотрим следующие задачи.

ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора , если известны декартовы координаты начала и конца вектора.

Пусть точки и лежат в плоскости и имеют координаты , . Рассмотрим векторы , и . Имеем:

Но ,

Следовательно, .

Аналогично получаем, что если и , , то

ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе.

Пусть и . Имеем:

, .

Рассмотрим треугольник . Имеем:

, , .

Следовательно, по теореме Пифагора,

Þ .

Аналогично получаем, что если и

то .

ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора называется вектор , сонаправленный с вектором и имеющий единичную длину.

Пусть . Так как векторы и сонаправленны, то существует такое, что . Следовательно

Найдем . Имеем:

Þ .

Таким образом, получаем:

Координаты орта вектора имеют очень простой геометрический смысл. Обозначим через , и углы, которые вектор образует с координатными осями , и соответственно. , , называются направляющими косинусами вектора . Выразим направляющие косинусы вектора через его координаты. Имеем:

Аналогично находим:

, .

Следовательно,

, , .

Таким образом, получили, что координаты орта вектора являются его направляющими косинусами.

Замечание. Так как и , то

Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.

ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка делит отрезок в отношении если .

Если , то точка лежит между точками и . В этом случае говорят, что точка делит отрезок во внутреннем отношении.

Если , то точка лежит на продолжении отрезка и говорят, что точка делит отрезок во внешнем отношении.

Пусть , и . Обозначим через , , – радиус-векторы точек , и соответственно. Тогда

, .

Так как , то

(1)

или в координатной форме:

, , . (2)

В частности, если – середина отрезка , то

т.е. и формулы (1) и (2) примут вид:

и , , .

Замечание. Если точка лежит между точками и , то обычно говорят, что делит отрезок в отношении . В этом случае , а формулы (1) и (2) можно переписать в виде: