Решение. Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11)

Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм (рис.11). Имеем векторные равенства

АВ + AD = АС, АВ – АD = DВ.

Возведем эти равенства в квадрат. Получим:

АВ² + 2 АВ х АD + АD² = АС², АВ² – 2АВ х АD + АD² = DВ²

Сложим эти равенства почленно. Получим:

2АВ² + 2 АD² = АС² + DВ².

Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то это равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

Задача 5.

Даны три точки: А (1; 1), В (-1; 0), С (0; 1). найдите такую точку D (х; y), чтобы векторы АВ и СD были равны.

Решение.

Вектор АВ имеет координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y – 1. Так как АВ = СD, то х – 0 = -2, y – 1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х = -2, y = 0.