Свойства операций над векторами

Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданными в координатной форме.

1. Пусть даны а = (а_х, а_y, а_z) и в = (в_x, в_у, в_z), тогда сумма этих векторов есть вектор с, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е. с = а + в = (а_х + в_x; а_y + в_у; а_z + в_z).

Пример 1.

а = (3; 4; 6) и в = (-1; 4; -3), тогда с = (3 + (-1); 4 + 4; 6 + (-3)) = (2; 8; 3).

2. а = (а_х, а_y, а_z) и в = (в_x, в_у, в_z), тогда разность этих векторов есть вектор с, координаты которого равны разности одноименных координат данных векторов, т.е. с = а - в = (а_х - в_x; а_y - в_у; а_z - в_z).

Пример 2.

а = (-2; 8; -3) и в = (-4; -5; 0), тогда с = а – в = (-2 – (-4); 8 – (-5); -3 –0) = = (2; -13; -3).

3. При умножении вектора а = (а_х, а_y, а_z) на число м все его координаты умножаются на это число, т.е. ма = (ма_х, ма_y, ма_z).

Пример 3.

а = (-8; 4; 0) и м = 3, тогда 3 а = (-8 х 3; 4 х 3; 0 х 3) = (-24; 12; 0).

Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач.

Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью векторов.

Теорема 1.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство.

Пусть АВСD – данный ромб (рис.7). Введем обозначения: АВ = а, ВС = в. Из определения ромба: АВ = DC = а, AD = ВС = в.

По определению суммы и разности векторов АС = а + в; DВ = а – в.

Рассмотрим АС * DВ = (а + в)(а – в) = а² – в².

Так как стороны ромба равны, то а = в. Следовательно, AC * DB =0. Из последнего получаем АС DВ, т.е. DB АС. Ч.т.д.

Рассмотрим теперь решение задач с помощью векторов.