Действия с векторами.

Решение.

1) = = ,

тогда .

2) =

Очевидно = = 3.

3) Орт обозначим . Для получения вектора единичной длины надо каждую координату вектора поделить на его длину.

.

5) Т.к. , , , то

Действия с векторами.

Линейными операциями над векторами являются сложение векторов и умножение вектора на число.

· Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа (хотя бы одно из которых не равно нулю), что выполняется равенство

· .

· Векторы называются линейно независимыми, если данное равенство выполняется только если .

· Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность. Для линейной зависимости трех векторов ─ компланарность.

· Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис.

· Любой вектор единственным образом представляется в виде суммы

. Числа ─ координаты вектора в данном базисе.

В прямоугольной системе координат базисом является тройка векторов

где ─ орт оси ; ─ орт оси ; ─ орт оси .

Два вектора равны, когда равны соответствующие координаты в одном и том же базисе.

Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат.

Координаты произведения вектора на число равны произведениям координат данного вектора на это число.

· Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат.

· Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, строками (столбцами) которого являются координаты данных векторов.

Пример 2. Даны векторы и .

Найти проекции на координатные оси векторов:

1) ; 2) ; 3) .