При автоматическом контроле большое значение имеет задача фильтрации выходного сигнала датчика для выделения значения измеряемой величины от искажающей ее помехи, присутствующей в полученном от датчика сигнале. Так, например, при измерении расхода газа в агрегатах на полезный сигнал накладываются пульсации газового потока, производимые газодувными устройствами. При измерении температуры материала или стенки агрегата пирометром сквозь пламя роль помехи в измеряемом сигнале играют колебания пламени и т.п.
Методы фильтрации с целью исключения случайной погрешности измерения датчика основаны на гипотезе о том, что спектр случайного процесса e(t) содержит более высокие частоты, чем спектр полезного сигнала x(t). Внешне фильтрация проявляется в том, что реализация процесса z(t) становится более плавной, чем исходная реализация y(t). Отсюда второе название той же процедуры - сглаживание.
Схема фильтрации приведена на рис. 1
Рис1. Схема фильтрации
Операция фильтрации может осуществляться аппаратно, т.е. с помощью специальных технических устройств, или программно на ЦВМ, как это обычно имеет место в АСУ ТП.
|
|
Качество фильтрации оценивается средним квадратичным отклонением сигналов Z (t) и Х (t)
(1)
где М -символ математического ожидания.
Различные типы фильтров дают разную погрешность восстановления полезного сигнала. Как правило, более точные фильтры являются более сложными устройствами, если они реализуются аппаратно. Реализация более точного фильтра в УВМ ведет обычно к увеличению объема памяти, занятого подпрограммой фильтрации и ее параметрами, а также к удлинению времени работы подпрограммы. При контроле работы установки, цеха и т.д. необходимо осуществлять фильтрацию сотен и тысяч сигналов датчиков, отсюда понятна важность вопроса обоснованного выбора типа используемых фильтров. Для решения этого вопроса требуется количественно оценить погрешность выделения полезного сигнала при использовании фильтров различных типов и выделить области возможного применения используемых на практике фильтров.
В АСУТП используют следующие типы фильтров:
1. Фильтр скользящего среднего.
2. Фильтр экспоненциального сглаживания
3. Статические фильтры нулевого порядка.
4. Статические фильтры первого порядка.
Фильтры. Алгоритмы фильтрации, области применимости
Задача построения оптимального или близкому к нему фильтра сравнительного узкого, но практически наиболее распространенного набора исходных данных. Корреляционная функция полезного сигнала Х (t), являющегося случайным стационарным процессом, аппроксимируется одной экспонентой
|
|
(2)
где - дисперсия полезного сигнала; a - коэффициент экспонента.
Искажающая сигнал помеха e(t), действующая на входе датчика, также является случайным, стационарным процессом, некоррелированным с сигналом X(t), имеющим нулевое математическое ожидание и корреляционную функцию вида
(3)
где k и m - коэффициенты
Рассматривается помеха более высокочастотная, чем полезный сигнал, поэтому всегда m > 1.
k – характеризует размах помехи и численно равна отношению дисперсий помехи и полезного сигнала.
m – характеризует частотный спектр помехи,.
В большинстве конкретных случаев получаемые оценки статистических характеристик полезного сигнала и, тем более, помехи слишком приближенны, чтобы принимать для их корреляционных функций более точныe, чем экспоненты аппроксимации, поэтому эти аппроксимации и приняты для дальнейшего анализа.
Фильтрация методом скользящего среднего
Фильтp, осуществляющий сглаживание по методу скользящего среднего описывается следующим выражением
(4)
где у(t) - исходный случайный процесс, содержащий помеху;
Т - интервал времени усреднения (параметр настройки фильтра).
Погрешность этого метода фильтрации определяется путем подстановки выражения (4) в (I). В результате преобразования получим [1 ]
(5)
Оптимальное значение, интервала усреднения Т находится из условия минимизации погрешности фильтрации , т.е. и
В дискретной форме алгоритм фильтрации по методу скользящего среднего имеет вид
(6)
где n = Т/То - число отсчетов функции у(t), по которому производится усреднение
То -период опроса датчика
Простая по вычислениям формула (6) занимает, к сожалению, достаточно большой объем V оперативной памяти УВМ для хранения промежуточных значений суммы (6)
(7)
где u - интервал времени, через который требуется выдавать значения Z (t).
Обычно u ³ Т0 и кратно ему. Наиболее распространенным является определение значения Z (t) каждый период опроса датчика. В этом случае V = To и V = n слов.
Погрешность фильтрацией дискретного варианта фильтра скользящегоo среднего определяется путем подстановки выражения (6), и (2) и (3) в (I). В результате преобразования получим
(8)
Оптимальное значение n находится из условия минимизации погрешности фильтрации . Оно зависит от заданных параметров помехи k, m, a и периода опроса То.
Качественная связь между погрешностью и параметрами помехи и полезного сигнала запишется в виде (непрерывный вариант):
Качественная связь между погрешностью и параметрами помехи и полезного сигнала запишется в виде(дискретный вариант):
Фильтрация методом экспоненциального сглаживания.
В непрерывном варианте экспоненциальный фильтр представляет собой элементарно реализуемое одноемкостное звено с передаточной функцией вида
(9)
где g - коэффициент экспоненциального сглаживании (параметр настройки фильтра), выбираемыйиз условия минимизации средней квадратичной погрешности работы фильтра.
Погрешность работы фильтра определяется но формуле [l,2]
(10) Используя (10), можно определить оптимальное значение параметра настройки фильтра , т.е. значение, соответствующее условиям
и
Реализуем экспоненциальный фильтр, должен иметь g > 0, что возможно при условии 1 / m < k £ m.
В дискретной форме алгоритм фильтрации по методу экспоненциального сглаживания представляет собой рекурентное соотношение вида
Z (t) = Z (t - To ) + g [ y (t) - Z (t - To ) ], (11)
где y (t) -текущее значение входа; Z (t - Тo) - значение выхода в момент предыдущего опроса.
Использование соотношения (11), независимо от требуемого интервала выдачи значения Z (t), позволяет для хранения промежуточных значений в оперативной памяти УВМ выделить всего одно слово.
Погрешность работы дискретного фильтра экспоненциального сглаживания определяется по формуле
|
|
(12)
При заданном периоде опроса То значение параметра определяется минимизацией погрешности по g
Качественная связь между погрешностью и параметрами помехи и полезного сигнала запишется в виде:
при решении практических вопросов В АСУТП из аналоговых чаще всего применяют фильтры экспоненциального сглаживания, а из дискретных -- фильтры экспоненциального сглаживания, статические фильтры первого порядка.