Категории и сингонии. Единичные направления

Разные виды симметрии существенно различаются по степени симметричности, что хорошо видно в таблице 2.1. Можно 32 вида симметрии сгруппировать в три категории – низшую, среднюю и высшую. К низшей категории будем относить виды симметрии, не содержащие осей симметрии высшего порядка (т.е. порядка выше второго). К средней категории относятся вида симметрии, имеющие одну ось симметрии высшего порядка. В высшую категорию попадают высокосимметричные кристаллы с несколькими осями симметрии высшего порядка (табл.2.1).

Далее, внутри категорий можно провести дальнейшую группировку видов симметрии, выделяя 7 сингоний (греч. син – одинаковый, гониа – угол). Смысл этого термина будет ясен в дальнейшем, когда мы введем кристаллографическую систему координат – раздел … Тогда же прояснится и смысл названий разных сингоний. Пока заметим только, что в названия большинства сингоний входят греческие числительные. Поскольку эти числительные входят и в другие составные термины геометрической кристаллографии, дадим их перечень:

Моно - один, ди – два, три – три, тетра – четыре, пента – пять, гекса –шесть, окта – восемь, дека – десять, додека – двенадцать.

В таблице 2.2 даны характеристики сингоний по симметрии.

О степени симметричности кристаллов можно судить также по количеству в них особых, или единичных направлений. Мы уже знаем, что свойства кристаллов различны по разным направлениям (анизотропия кристаллов). Но если данное направление размножается элементами симметрии кристалла, значит, для этого направления есть эквивалентные направления, в которых свойства будут такими же. Направления, связанные элементами симметрии, называются симметрично-равными. С другой стороны, в кристалле возможны направления, которые не размножаются элементами симметрии, им нет эквивалентных, симметрично-равных направлений. Свойства в таких особых направлениях могут отличаться от свойств в любых других направлениях. Эти направления называются единичными. Понятно, что чем выше симметрия кристалла, тем меньше в нем единичных направлений

В кристаллах высшей категории (кубическая сингония), благодаря их высокой симметрии, единичных направлений нет – любому направлению найдутся симметрично-равные направления. В кристаллах средней категории возможно только одно единичное направление, совпадающее с единственной осью симметрии высшего порядка. Все другие направления этой осью симметрии будут размножаться. Заметим сразу, что это дает дополнительный критерий для обнаружения инверсионной оси симметрии четвертого порядка. Если найденная ось L₂является единичным направлением, и других единичных направлений в фигуре нет, то это ось L_i4.

Для низшей категории единичных направлений больше одного, но в разных сингониях их разное количество. Кристаллы ромбической сингонии имеют три взаимно перпендикулярных оси симметрии второго порядка – простые или инверсионные (перпендикуляры к плоскостям симметрии). С этими осями совпадают три единичных направления. Действительно, каждое из этих направлений двумя оставшимися перпендикулярными к нему осями симметрии не размножается – происходит лишь совмещение противоположных концов направления при повороте на 180^○ вокруг L₂ или при отражении в плоскостиm. Любые другие направления, кроме этих трех, осями симметрии второго порядка или плоскостями симметрии размножаются (удваиваются). В кристаллах моноклинной сингонии имеется только одна ось второго порядка – простая или инверсионная. Направление, совпадающее с этой осью, является единичным и не размножается, так как других элементов симметрии (кроме, может быть, центра инверсии) нет. Кроме того, не размножаются и все направления, лежащие в плоскости, перпендикулярной L₂ или L_i2 (т.е. в плоскости m). Итак, в кристаллах моноклинной сингонии имеется множество единичных направлений (различающихся между собой!), но не все направления единичны. В кристаллах триклинной сингонии единичны все направления (и все они между собой различаются), поскольку нет элементов симметрии, которые бы их размножали. Если есть центр инверсии, то он лишь совмещает разные концы каждого направления.

Характеристика категорий и сингоний по количеству и расположению единичных направлений приведена в таблице 2.2