double arrow

Предельные группы симметрии

Симметрия физических свойств кристаллов не может быть ниже его собственной симметрии (принцип Неймана), но очень часто она выше, и описывается во многих случаях так называемыми предельными группами симметрии, или группами Кюри. В отличие от кристаллографических точечных групп предельные группы содержат оси симметрии бесконечного порядка L͚, т.е. направления, при повороте вокруг которых на любой, в том числе и бесконечно малый угол, объект совмещается сам с собой. Кроме того, объект может иметь бесконечное количество некоторых элементов симметрии. Помимо физических свойств кристаллов , предельные группы симметрии описывают также симметрию сред кристаллизации (точнее, симметрию тепловых, диффузионных и гидродинамических полей в среде кристаллизации вокруг растущего кристалла). Как мы увидим дальше (раздел…), симметрия среды кристаллизации влияет на внешнюю симметрию кристалла и может приводить к ее снижению, поэтому предельные группы симметрии оказываются полезными при анализе форм реальных кристаллов.

Предельных групп симметрии всего семь. Пять из них, c одной осью симметрии L ͚, являются предельными для видов симметрии средней категории, две группы с бесконечным количеством L͚ - предельными для видов симметрии высшей категории. Каждой группе можно сопоставить определенную геометрическую фигуру, имеющую те же элементы симметрии:

1 – L ͚, симметрия вращающегося кругового конуса. Вращение возможно как вправо, так и влево. Является предельной группой примитивных видов симметрии.




2 – L ͚ ∞m, симметрия неподвижного кругового конуса. Бесконечное количество продольных плоскостей симметрии возникает в соответствии с теоремой сложения 1б. Предельная группа планальных видов симметрии.

3 – L ͚ ˔mC, симметрия вращающегося кругового цилиндра. Вращение возможно как вправо, так и влево. Перпендикулярная оси плоскость симметрии возникает в соответствии с теоремой сложения 3б, так как ось L ͚ - в том числе и четная. Эта группа – предельная для центральных видов симметрии.

4 –L ͚ ∞L2, симметрия скрученного цилиндра (верхняя и нижняя грани цилиндра закручены в противоположные стороны). Бесконечное количество осей симметрии L2,перпендикулярных L ͚, возникает в соответствии с теоремой сложения 1а. Предельная группа аксиальных видов симметрии.



5 – L ͚ ∞L2∞mC, симметрия неподвижного кругового цилиндра. Получается из предыдущей группы добавлением центра инверсии, порождающего в соответствии с теоремой сложения 3б бесконечное количество плоскостей симметрии, перпендикулярных каждой L2, плюс выделенную плоскость симметрии, перпендикулярную L ͚. Группа, предельная для аксиально-центральных видов симметрии.

6 - ∞L ͚, симметрия шара, каждый радиус которого закручен в одну и ту же сторону (либо вправо, либо влево). Предельная группа для аксиального вида симметрии высшей категории.

7 - ∞L ͚ ∞mC, симметрия обычного шара. Получается из предыдущей группы добавлением центра инверсии, порождающего в соответствии с теоремой сложения 3б бесконечное количество плоскостей симметрии, перпендикулярных каждой из осей L͚. Группа, предельная для аксиально-центрального вида симметрии высшей категории.

Предельные группы симметрии и их геометрические образы показаны на рис.2.12.

Подписи к рисункам к разделам 1 и 2.

Рис.1.1. Упорядоченное расположение частиц в кристаллической структуре: а – узловой ряд, б – узловая плоскость, в – пространственная решетка; выделен элементарный параллелепипед, построенный на трех кратчайших некомпланарных трансляциях.

Рис.2.1. Симметрическое преобразование равностороннего треугольника операцией поворота вокруг его центра тяжести.

Рис.2.2. Прямое (а) и зеркальное (б) равенства фигур.

Рис.2.3. Поворотная ось симметрии четвертого порядка в кубе.

Рис. 2.4. К доказательству невозможности в кристалле осей симметрии порядка выше шестого (а) и пятого порядка (б).

Рис.2.5. Многогранники с осями симметрии третьего (а), четвертого (б), шестого (в) и второго (г) порядков.

Рис.2.6. Действие плоскости симметрии m; на рис. б плоскость PQ не является плоскостью симметрии; в – варианты положения плоскости симметрии относительно граней и ребер кристалла.

Рис.2.7. Действие центра инверсии.

Рис.2.8. Инверсионные оси шестого (а) и четвертого (б) порядков; в – иллюстрация эквивалентности плоскости симметрии и перпендикулярной ей инверсионной оси симметрии второго порядка.

Рис.2.9. Элементы симметрии куба.

Рис. 2.10. Взаимосвязь поворотной оси симметрии второго порядка, перпендикулярной ей плоскости симметрии и центра инверсии.

Рис.2.11. Иллюстрация теоремы Эйлера – нахождение равнодействующей оси симметрии.

Рис.2.12. Геометрические фигуры, иллюстрирующие предельные группы симметрии, и элементы симметрии этих групп.

Подписи к таблицам разделя 2.

Табл.2.1. 32 вида симметрии.

Табл.2.2. Характеристика категорий и сингоний по элементам симметрии и единичным направлениям.

Табл.2.3. Виды симметрии без центра инверсии, полярные и неполярные направления и наличие пиро- и пьезоэлектрических свойств.






Сейчас читают про: