2015-06-24
2774
Мы уже видели, что кристаллические многогранники не могут иметь произвольного сочетания элементов симметрии в силу взаимодействия этих элементов. Количество возможных наборов элементов симметрии в кристаллах ограничено – их всего 32, и называются они виды симметрии. С другой стороны, поскольку операции симметрии образуют замкнутую группу (в алгебраическом смысле), то другое название видов симметрии – точечные группы симметрии (точечные – так как любые симметрические преобразования оставляют хотя бы одну точку фигуры неподвижной, не преобразующейся в другие точки).
Зная теоремы сложения элементов симметрии, мы можем вывести все возможные для кристаллов виды симметрии. Принцип вывода прост: задаем простейшие наборы элементов симметрии (порождающие элементы, или генераторы), и из этих простейших наборов с помощью теорем сложения получаем полные наборы элементов симметрии. Возможны семь порождающих наборов, не выводимых друг из друга с помощью теорем сложения. Им соответствуют семь семейств видов симметрии:
|
|
|
Примитивные – одна поворотная ось симметрии порядка n.
Инверсионно-примитивные – одна инверсионная ось симметрии порядка n.
Центральные – поворотная ось симметрии порядка n и центр инверсии.
Планальные – поворотная ось симметрии порядка n и проходящая через нее плоскость симметрии.
Инверсионно-планальные –инверсионная ось симметрии порядка n и проходящая через нее плоскость симметрии.
Аксиальные – поворотная ось симметрии порядка n и перпендикулярная ей поворотная ось симметрии второго порядка.
Аксиально-центральные – набор элементов симметрии аксиального семейства и центр инверсии.
Теперь, используя теоремы сложения, составим таблицу видов симметрии (табл.2.1). В верхней графе таблицы помещаем семь генераторов, в левом столбце – порядок порождающей оси симметрии. В клетках таблицы помещаем полные наборы элементов симметрии, полученные из порождающих наборов. Некоторые виды симметрии могут быть получены исходя из разных генераторов. Повторяющиеся наборы будем заключать в скобки.
Посчитав только неповторяющиеся наборы элементов симметрии, получим 27 видов симметрии. На самом деле их больше. Существуют высокосимметричные кристаллы, содержащие более одной оси высшего порядка. Простейший набор элементов симметрии для таких кристаллов – 3L24L3. Соответствующий вид симметрии будем считать примитивным. Добавление центра инверсии переводит этот вид симметрии в центральный (либо в инверсионно-примитивный, так как L3+C=Li3; предпочтение отдаем центральному виду симметрии). Проводя через 4L3 плоскости симметрии, получим планальный вид симметрии. Однако при этом оси L2 превращаются в инверсионные оси Li4 в соответствии с теоремой 3. Поэтому данный вид симметрии отнесем к инверсионно-планальному семейству. Добавление к примитивному набору 3L24L3 дополнительных осей симметрии по диагоналям между каждой парой исходных осей L2дает аксиальный вид симметрии, при этом исходные оси L2превращаются в оси четвертого порядка 3L4в соответствии с теоремой 1. Наконец, добавление к аксиальному набору центра инверсии дает аксиально-центральный вид симметрии. Итого мы получили еще пять видов симметрии, а всего – 32 вида. Этими тридцатью двумя видами симметрии исчерпывается все разнообразие симметрии кристаллических многогранников. Осваивающим курс предлагается в качестве упражнения
|
|
|
самостоятельно получить все наборы элементов симметрии, отвечающие 32-м видам симметрии и представленные в таблице 2.1.Показанные в клетках таблицы стереографические проекции элементов симметрии будут рассмотрены далее, в разделе 3.
