2015-06-24
3225
Операции симметрии можно, конечно, описывать чисто математически. Но для наглядности удобно каждой операции симметрии сопоставить геометрический образ (плоскость, прямую, точку), который осуществляет данную операцию. Такие вспомогательные геометрические образы называются элементами симметрии. Поскольку имеется два рода операций симметрии, то имеем и два рода элементов симметрии. Рассмотрим их.
Элементы симметрии Iрода.
Для кристаллических многогранников (конечных тел) операции симметрии Iрода - только повороты. Соответственно, элементы симметрии Iрода – это поворотные ( простые ) оси симметрии. Поворотной осью симметрии будем называть прямую, проходящую через центр тяжести фигуры, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой. Например, изображенный на рис. 2.3 куб самосовмещается при повороте вокруг прямой, проходящей через центры противоположных граней, на углы 90○, 180○, 270○, (и конечно, 360○). Минимальный угол поворота, при котором фигура самосовмещается, называется элементарным углом поворота α оси симметрии. Разделив угол полного оборота 360○ на элементарный угол поворота, получим порядок оси симметрии n=360/α, равный числу самосовмещений фигуры при полном обороте.
Трехмерная периодичность кристаллов накладывает жесткие ограничения на возможные порядки осей симметрии. Рассмотрим узловую сетку (рис.2.4а) с шагом трансляции, одинаковым по образующим ее узловым рядам и минимальным для данной решетки t1=t2=min.Тогда через узел А должна проходить поворотная ось симметрии, совмещающая трансляции t1 и t2 при повороте на угол α. При этом возникает новая трансляция t3,шаг которой не может быть меньше минимального шага t1, т.е. t3≥t1=t2. Отсюда следует, что α≥60○, и порядок оси n≤6. Поскольку порядок оси по определению – целое число, то возможные порядки – 1, 2, 3, 4, 5, 6. Однако оси пятого порядка в трехмерно-периодических структурах также невозможны. Для доказательства рассмотрим узловой ряд с трансляцией t1, минимальной для данной решетки (рис.2.4б). Пусть через соседние узлы А и В перпендикулярно плоскости решетки проходят оси пятого порядка. Эти оси поворачивают вектор трансляции на углы ±360○/5= ±72○, переводя точки А и В в точки А´ и В´ соответственно. При этом возникает новая трансляция t2=А´В´ с шагом, меньшим минимального. Более того, помещая оси пятого порядка в следующие точки исходного узлового ряда С,D и т.д., получим узловой ряд A´B´ С´ D´… с неравномерным шагом трансляции. Таким образом, оси пятого порядка не совместимы с трехмерной периодичностью (заметим, что в квазикристаллах, в которых отсутствует трехмерная периодичность, такие оси возможны).
Итак, в кристаллах невозможны оси симметрии порядков пятого и выше шестого. Это составляет суть одного из основных законов кристаллографии – закона симметрии.
Поворотные оси симметрии в символике Браве обозначаются как Ln, где индекс n – порядок оси. Оси с n>2 принято называть осями высшего порядка. Ось L1вводится для общности – при повороте на 360○ вокруг любого направления любая фигура совмещается сама с собой (тождественное преобразование).
На рис.2.5 показаны многогранники, имеющие поворотные оси симметрии разного порядка. Ось симметрии Ln может проходить через одну или две вершины кристалла – тогда в вершине должны сходиться nравных граней (или кратное nих количество) - рис.2.5а,б. Оси симметрии могут проходить через центры граней – тогда эти грани должны быть многоугольниками с числом сторон, равным или кратным n – рис.2.5б,в,г. Ось L2 может проходить через середину ребра, тогда в этом ребре сходятся две равные грани – рис.2.5г. Выяснить, является ли данное направление поворотной осью симметрии, довольно просто. Для этого надо посмотреть на кристалл вдоль этого направления и посчитать, сколько раз вокруг него повторяются равные грани.
Отметим еще, что для осей симметрии L4 и L6 самосовмещение фигуры можно получить при повороте не только на элементарный угол оси, но и на кратные ему углы - 180○ для L4 и 120○ и 180○ для L6 ,т.е. эти оси включают в себя оси более низких порядков.
Элементы симметрии II рода.
Плоскость симметрии является самым простым для понимания элементом симметрии II рода. Она обозначается буквой m. Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально равные части, т. расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное изображение – рис.2.6а. Проведя из каждой точки фигуры перпендикуляр к плоскости, получим образ этой точки на продолжении перпендикуляра по другую сторону плоскости на таком же расстоянии, как исходная точка. Подчеркнем, что плоскость симметрии делит фигуру не просто на равные, а именно на зеркально равные части. Так, на рис.2.6б плоскость, пересекающая фигуру по линии PQ, не является плоскостью симметрии, хотя и делит фигуру на равные части.
Плоскости симметрии могут проходить через центры граней перпендикулярно к ним, через ребра, перпендикулярно ребрам через их середины или через вершины кристалла. Все варианты видны на рис.2.6в. Плоскость симметрии легко обнаружить, если смотреть вдоль испытуемой плоскости и сравнивать части кристалла, лежащие по разные стороны от нее.
Центр инверсии, обозначается буквой С. Центром инверсии называется точка, совпадающая с центром тяжести фигуры, при отражении в которой фигура совмещается сама с собой – рис.2.7. Проведя из каждой точки фигуры прямую через центр инверсии, получим образ этой точки по другую сторону от центра на таком же расстоянии от него, что и исходная точка. Таким образом, Каждому элементу фигуры (вершине, ребру, грани) соответствует такой же равноудаленный от центра элемент, причем эквивалентные ребра и грани равны и параллельны (точнее, антипараллельны). Поэтому определить наличие или отсутствие центра инверсии очень просто. Нужно поочередно помещать многогранник каждой гранью на поверхность стола и смотреть, найдется ли для нижней грани равная ей и параллельная верхняя грань. Если это так, то центр инверсии у фигуры есть, в противном случае его нет.
Инверсионные оси - это оси симметрии, выполняющие сложные операции – сочетание поворота фигуры вокруг оси с отражением в центре тяжести фигуры как в центре инверсии. Обозначения инверсионных осей - Lin, порядки осей n - те же, что и для поворотных осей, т.е. n=1,2,3,4,6. На рис.2.8а фигура ABCDEF имеет инверсионную ось шестого порядка Li6 – поворот вокруг этой оси на 60○ фигуру в A´В´ С´D´E´F´, а последующее отражение в центре тяжести О – в фигуру, идентичную исходной. Обращаем внимание, что эта фигура имеет простую (поворотную) ось симметрии L3 , но на самом деле симметрия ее выше – Li6.
Из шести инверсионных осей симметрии пять не являются самостоятельными, и их действие эквивалентно действию других элементов симметрии или их комбинаций: Li1=C, Li2=m, Li3=L3+C, Li6=L3+˔m(последнее хорошо видно на рис.2.8а). Только Li4является вполне самостоятельной инверсионной осью, не заменяемой никакими комбинациями, и только эту инверсионную ось имеет смысл искать в фигуре – остальные получаются автоматически из более простых для поиска элементов симметрии. Ось Li4обязательно совпадает с поворотной осью L2. Но при этом равных граней, параллельных или наклонных к оси, будет вдвое больше, чем их было бы в случае L2, и совмещаться они будут четырехкратно, тогда как осью L2 – только попарно. Так, на фигуре рис.2.8б ось L2совмещает поворотом на 180○ грани ABCи ABD, а также ADCиBCD. Ось Li4 поворотом на 90○ и отражением в точке О последовательно совмещает граниABC→СDB→BAD→DCA.
Отметим еще, что хотя плоскость симметрии m обнаружить, конечно, гораздо проще, чем Li2, часто удобнее плоскость mпредставлять именно как перпендикулярную к этой плоскости инверсионную ось второго порядка – с такими случаями мы далее столкнемся при рассмотрении теорем сложения (раздел 2.3). Эквивалентность Li2 и m показана на рис. 28в: поворот на 180○ вокруг оси Li2 дает преобразование AB→A´B´, отражение в центре фигуры – переход A´B´→A´´B; отражение в плоскости m, перпендикулярной Li2, преобразует сразу AB в A´´B.
В одном многограннике может присутствовать несколько (иногда довольно много) элементов симметрии. Например, в изображенном на рис.2.9 кубе имеются три оси четвертого порядка 3L4, перпендикулярных граням куба и, соответственно, взаимно перпендикулярных (а). Через 8 попарно противоположных вершин куба (в каждой из которых сходится по три грани) проходят четыре оси третьего порядка 4L3 (б). Через середины двенадцати попарно противоположных ребер куба проходят шесть осей второго порядка 6L2 (в). С плоскостями симметрии немного сложнее. Хорошо видно, что есть плоскости симметрии, перпендикулярные трем осям четвертого порядка, итого 3m (г). Кроме того, есть диагональные плоскости, перпендикулярные каждой из шести осей второго порядка, итого 6m (д). В сумме имеем девять плоскостей симметрии 9m. И есть центр инверсии, так как каждой грани куба имеется параллельная и равная ей грань. Других элементов симметрии нет. Теперь можем записать формулу симметрии куба, или учебную формулу Браве: 3L44L36L29mC. При записи формулы Браве из имеющихся элементов симметрии сначала выписываем оси симметрии высшего порядка, простые или инверсионные, затем оси второго порядка, далее – плоскости симметрии, и последним – центр инверсии. Исключением являются кристаллы, имеющие 4L3 – эту комбинацию всегда записывают на втором месте. На первом месте в этом случае записывают три взаимно перпендикулярных оси симметрии, которыми могут быть как L4 или Li4, так и L2 – см.раздел 2.4.
