Случайные векторы. Основные понятия

Тема 4. Случайные векторы

Кроме одномерных случайных величин изучают вели­чины, возможные значения которых определяются двумя, тремя,..., n числами. Такие величины называются соот­ветственно двумерными, трехмерными,..., n-мерными.

Будем обозначать через (X,У) двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют состав­ляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматри­ваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично n-мерную величину можно рассмат­ривать как систему n случайных величин. Например, трехмерная величина (X,У,Z) определяет систему трех случайных величин X, Y и Z. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если конт­ролируемыми размерами являются длина X и ширина Y то имеем двумерную случайную величину (X,Y); если же контролируется и высота Z, то имеем трехмерную величину (X, Y, Z).

Двумерную случайную величину (X,Y) геометрически можно истолковать либо как случайную точку М (X,Y) на плоскости, либо как случайный вектор ОМ. Трехмерную случайную величину геометрически можно ис­толковать как точку М (Х,Y,Z) в трехмерном пространстве или как вектор ОМ.

Различают дискретные (составляющие этих вели­чин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непре­рывны) многомерные случайные величины.

Законом распределения дискретной двумерной слу­чайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (x,у) и их вероятно­стей .

Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Y	X
	…
		…
….	…	…	…
		…

Первая строка таблицы содержит все возможные зна­чения составляющей X, а первый столбец - все возможные значения составляющей У. В клетке, стоящей на пере­сечении «столбца » и «строки », указана вероятность того, что двумерная случайная величина примет значение .

Так как события образуют полную группу, то сумма вероятностей, помещенных во всех клетках таб­лицы, равна единице.

Зная закон распределения двумерной дискретной слу­чайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, со­бытия несовместны, поэтому вероятность того, что X при­мет значение по теореме сложения такова:

= +... + .

Таким образом, вероятность того, что X примет зна­чение равна сумме вероятностей «столбца ». Так находятся вероятности любого столбца . Или строки .