Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения. Здесь и далее будем предполагать, что функция распределения F (x, у) всюду непрерывна и имеет всюду (за исключением, быть может, конечного числа кривых) непрерывную частную производную второго порядка.
Плотностью совместного распределения вероятностей f (x,у) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:
f(x,у) = .
Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.
Зная плотность совместного распределения f(x,у), можно найти функцию распределения F (x, у) по формуле
F (x, у) = ,
что непосредственно следует из определения плотности распределения двумерной непрерывной случайной величины (X,Y).
Вероятность попадания случайной точки (X;Y) в прямоугольник ABCD равна
Обозначив для краткости левую часть равенства и применив к правой части теорему Лагранжа, получим:
,
где , , , .
Приняв во внимание, что произведение равно площади прямоугольника ABCD, заключаем: есть отношение вероятности попадания случайной точки в прямоугольник ABCD к площади этого прямоугольника. Так как при при
Итак, функцию можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник (со сторонами и ) к площади этого прямоугольника, когда обе стороны прямоугольника стремятся к нулю.
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область равна
.