Свойство 1. Если компланарные, то .
Доказательство. Пусть компланарные. Запишем смешанное произведение этих векторов:
.
Рассмотрим случаи:
1. Если один из векторов нулевой, то .
2. Если , , и вектора и ‑ коллинеарные, то и, следовательно, .
3. Пусть , , и вектора и ‑ неколлинеарные. Тогда из того, что вектор лежит в одной плоскости с векторами и , а вектор перпендикулярен этой плоскости, вытекает, что векторы и ‑ перпендикулярные (т.е. ), поэтому
и . □
Свойство 2. Если некомпланарные, то приведя их к общему началу и построив на них параллепипед объема , получим , где
Доказательство. Из определения и свойств векторного произведения имеем:
,
где ‑ единичный вектор, такой, что , и тройка , а ‑ площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
.
Рассмотрим два случая.
1. Тройка ‑ правая (рис.1), тогда угол ‑ острый, т.е. , и . Если ‑ высота параллепипеда, построенного на векторах , то в этом случае и .
2. Тройка ‑ левая (рис.2), тогда угол ‑ тупой, т.е. , и . В этом случае и .
|
|
Из рассмотренных случаев следует, что , где □
Свойство 3. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке, т.е.
.
Доказательство. Пусть ‑ некомпланарные.
Докажем, что .
По свойству 2, и . Так как циклическая перестановка не меняет ориентацию тройки, то и .
Равенство доказывается аналогично. □
Свойство 4. При перестановке двух соседних множителей, смешанное произведение меняет знак, т.е. .
Доказательство. Пусть ‑ некомпланарные. Докажем, что . По свойству 2, и . Так как нециклическая перестановка меняет ориентацию тройки, то и .□
Свойство 5. .
Доказательство. Из свойства скалярного произведения следует, что . Поэтому надо доказать, что . Так как перестановка циклическая, то по свойству 3 это равенство выполняется. □