Скалярное произведение векторов. Определение 1. Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Определение 1. Под скалярным произведением двух векторов и понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

,

где .

Так как и (рис.1), то скалярное произведение можно записать в виде

.

Определение 2. Два вектора и называются ортогональными, если угол между ними равен . Ортогональность векторов и обозначается .

Теорема (геометрическое свойство скалярного произведения). тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость. Пусть , тогда .

Достаточность. Если , то . Возможны три случая:

1) ;

2) ;

3) .

Из этих случаев следует, что .□

Алгебраические свойства скалярного произведения.

1. .

2. .

3. .

4. .