Задача №1

Оглавление

Задача №1……………………………….....................................................................3

Задача №2…………………………………………………………………………….7

Задача №3…………………………………………………………………………….9

Задача №4…………………………………………………………………………...15

Задача №5…………………………………………………………………………...20

Задача №6…………………………………………………………………………...23

Библиографический список

Задача №1

1. Построим математическую модель оптимизации выпуска продукции и запишем ее в форме задачи линейного программирования:

Обозначим:

x₁ – количество производимой продукции А

x₂ – количество производимой продукции Б

Тогда производственная программа выпуска изделий А и Б будет определяться вектором X=(x₁;x₂)

Искомая программа должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям:

4x₁+x₂£209

x₁+2x₂£117

8x₁+x₂£635

Z=244x₁+166x₂®MAX

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найдем оптимальную программу выпуска продукции:

I. 4x₁+x₂=209

x1		52,25
x2

II. x₁+2x₂=117

x1
x2	58,5

III. 8x₁+x₂=635

x1		79,4
x2

Так как О.Д.Р. представляет собой некоторый замкнутый многоугольник, полученный путём пересечения полуплоскостей, отвечающих отдельным неравенствам задачи, определим по какую сторону от граничных прямых располагается искомая полуплоскость. Для этого в каждое из трёх неравенств – ограничений подставим пробную точку (0;0):

Þ

Т.к. точка (0;0) удовлетворяет всем трём неравенствам, то искомые полуплоскости будут располагаться слева (ниже) граничных прямых (1) –(3).

Кроме основных ограничений на ресурсы, в задаче имеются также тривиальные неравенства Х₁³0; Х₂³0. Неравенству Х₁³0 отвечает полуплоскость, расположенная справа от оси Х₂, а граничная прямая, задаваемая уравнением Х₁=0 совпадает с осью Х₂. Граничная прямая Х₂=0 совпадает с осью Х₁, а множество точек удовлетворяющих неравенству Х₂³0 – это полуплоскость, лежащая выше оси ОХ. Изобразим О.Д.Р. графически:

Найдём теперь в этой области точку максимума целевой функции Z: grad Z=(244;166)= . Из начала координат, в направлении вектора откладываем вектор произвольной длины и перпендикулярно ему проведём через начало координат нулевую линию уровня.

Двигая эту линию в направлении вектора или параллельно самой себе, достигнем самой крайней точки О.Д.Р., это и будет точка максимума целевой функции Z:

Х^*=(Х₁^*;Х₂^*). В нашей задаче точка Х^* лежит на пересечении граничных прямых (I) и (II):

Х^*: Þ

Оптимальная производственная программа Х*=(43;37) состоит в выпуске 43 ед. продукции А и 37 ед. продукции Б.

Ожидаемая выручка от их реализации составит:

Z=244×43+166×37=16634 руб.

3. Запишем задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.

Исходная задача:

u₁Þ 4x₁+x₂£209

u₂Þ x₁+2x₂£117

u₃Þ 8x₁+x₂£635

x₁³0; x₂³0

Z=244x₁+166x₂®MAX

Двойственная задача:

x₁Þ 4u₁+u₂+8u₃³244

x₂Þ u₁+2u₂+u₃³166

u₁³0; u₂³0; u₃³0

W=209u₁+117u₂+635u₃®MIN

Здесь u₁, u₂, u₃ – двойственные оценки используемых ресурсов.

Используя условия «дополняющей нежесткости», найдём оптимальное решение двойственной задачи:

Условия «дополняющей нежесткости»:

1: Х_j×V_j=0;

2: U_i×Y_i=0;

При известном оптимальном векторе Х^*=(43;37):

1: X₁×V₁=0 Þ X₁=43 Þ V₁=0 ~ 4u₁+u₂+8u₃=244

X₂×V₂=0 Þ X₂=37 Þ V₂=0 ~ u₁+2u₂+u₃=166

2: U₁×Y₁=0 Þ Y₁=209-4X₁-X₂=209-4×43-37=0, Þ U₁³0

U₂×Y₂=0 Þ Y₂=117-X₁-2X₂=117-43-2×37=0 Þ U₂³0

U₃×Y₃=0 Þ Y₃=635-8X₁-X₂=635-8×43-37=254, Þ U₃=0

Итак, получили систему уравнений:

Þ Þ U^*=(46;60;0)

Оптимальные целевой функции при этом

W^*=209×46+117×60+635×0=16634 руб.

Получены следующие результаты расчета модели:

X^*=(43;37)

U^*=(46;60;0)

Z^*=W^*=16634 руб.

Проведем экономическую интерпретацию полученных результатов решения двойственной задачи:

Единицы измерения двойственных оценок определяются по формуле: (U_i)=(Z)/(b_i),

где (U_i); (Z); (b_i) - единицы измерения соответственно двойственной оценки оптимизируемого показателя и ресурса i-ого вида.

В нашей задаче оптимизируемый показатель – выручка Z, измеряемая в рублях, единицы измерения ресурсов заданы в исходных данных задачи.

Итак: (U₁)= руб./кг.; (U₂)= руб./ст.-час; (U₃)= руб./чел.-час.

Оптимальная оценка U₁=46 руб./кг означает, что если имеющийся объем сырья увеличить (снизить) на 1 кг, то ожидаемая выручка может увеличиться (снизиться) на 46 руб.

Оптимальная оценка ресурса оборудования U₂=60 руб./ст.-час показывает, что если имеющийся фонд времени на оборудование увеличить (снизить) на 1 кг, то ожидаемая выручка может увеличиться (снизиться) на 60 руб.

Оптимальная оценка U₃=0 руб./чел.-час означает, что объем трудоресурса в данном объеме является избыточным, т.е. он недоиспользуется.