Выборочное распределение выборочных средних

Предположим, что мы хотим узнать среднее значение некоторой характеристики генеральной совокупности, например, средний рост десятилетних детей, среднюю заработную плату конторских работников в текстильной промышленности ^или средний диаметр производимых стальных шайб. Эти генеральные средние могут быть оценены по выборке. Если исходная, или генеральная совокупность нормаль­но распределена, то выборочное распределение выборочных средних также будет иметь нормальное распределение. Даже для ненормального распределения гене­ральной совокупности, если выборка большая по размеру (п £ 30), выборочное распределение выборочных средних будет иметь приблизительно нормальное рас­пределение. Этот очень важный вывод основан на центральной предельной теореме.

Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Это позволяет нам использовать здесь все идеи о нормальном распределении, стандартизованных таблицах и г величинах, сформулированных в 2.7.

По выборочному распределению мы можем вычислить среднее значение всех выборочных средних. Оно представляет собой математическое ожидание выборочной средней:

^Е(5,=уг

Если генеральная совокупность является нормальной, то математическое ожи­дание выборочной средней есть ни что иное как генеральная средняя ц, т.е.

Е(х) = ц.

Это равенство справедливо только в том случае, если формирование выборки производилось случайно. В этом случае средняя, полученная по выборочному распределению, называется несмещенной оценкой генеральной средней (средней по совокупности). Пример 4.2 показывает, что это может быть верно и для ненормальной совокупности.

□ Пример 4.2. Обратимся к примеру 4.1. Выборочное распределение выборочных средних при п*=2 следующее:

Таблица 4.3. Вычисление Е (х)

Математическое ожидание, полученное по выборочному распределению, составляет:

■-^=14.0.

Данные совокупности: 4, 8, 12, 16, 20 и средняя по совокупности равна: ц = (4 + 8+12+16+20 + 24)/6 = 84/6 = 14,0.

Гл. 4. Выборка и выборочные распределения

Следовательно, в нашем примере Е (х) = ц.

Однако, как уже упоминалось, на практике мы бы не стали действительно строить выборочное распределение на основе многократного проведения выборок из одной и той же совокупности. Следовательно, Е (х) не может быть вычислено таким образом. Обычно мы располагаем данными только по одной единственной выборке. Но ввиду того, что нам известно, что Е (х) = ц, мы можем использовать единственную выборочную среднюю как несмещенную оценку генеральной средней: