Рассмотрим 1 шаг

Вклад	Проект	Остаток	Прибыль из матрицы	Прибыль за шаг		Прибыль на шаге
S1	Х2	S2	f (x2)	F3	f+F	F2

Анализ результатов:

Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими способами:

1) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.

2) 1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0 д.ед.

3) 1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.

4) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.

5) 1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.

задача о замене оборудования

С течением времени любое оборудование изнашивается физически и морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования. В связи с этим возникает задача определения наиболее подходящего момента замены оборудования, В качестве критерия оптимальности при замене оборудования принимают минимум ожидаемых затрат или макси­мум ожидаемой прибыли за какой-то период времени.

В начале планового периода N = 4 годам, имеется оборудование, возраст которого t = 2 года. Для каждого года планового периода известны
стоимость r(t) произведенной с использованием имеющегося оборудования продукции и затраты v(t), связанные с его эксплуатацией. Эти характеристики зависят от возраста оборудования. Известны также остаточная стоимость оборудования s = 4 ден. ед., не зависящая от его возраста, и стоимость нового оборудования р = 13 ден, ед., не меняющаяся в рассматриваемом плановом периоде. Срок эксплуатации данного оборудова­ния не более 6 лет.

t
r(t)
v(t)

Требуется разработать оптимальную политику в отношении имеюще­гося оборудования, те. на начало каждого года планового периода уста­новить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточ­ной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая при­быль за N лет достигла максимальной величины.

Состояние системы (S) будем характеризовать возрастом оборудова­ния t = 0, 1,.... Значение t = 0 соответствует новому оборудованию. Пусть х_i - управление на i-м шаге, которое имеет два варианта - "сохранение" и "замена".

Рассмотрим основное функциональное уравнение на последнем, N-м шаге: .

В этой и последующих формулах максимальная прибыль на очеред­ном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начали данного года, поэтому целесообразно уравнение переписать в виде

.

Если при этом в начале года выбрано управление "сохранение", то прибыль выражается разностью , если же выбрано управление "замена", то прибыль можно записать в виде .

Максимальная прибыль определяется большим из двух приведенных выражений. Если прибыль в обоих случаях будет одинаковой, то целесо­образно принять управление "сохранение", так как имеющееся оборудова­ние хорошо освоено и с ним легче работать.

При произвольном шаге (i < N) основное функциональное уравнение принимает вид . Прибыль на i-м шаге по-прежнему определяется парой формул: , если вы­брано управление "сохранение", и – в противо-положном случае.

Применим рассмотренный алгоритм к решению конкретной задачи. Начнем с последнего, четвертого года планового периода. Имеем:

- в случае "сохранения" оборудования и

- в случае его "замены".

Составляем первую таблицу, рассматривая все возможные начальные состояния оборудования, т.е. его возраст S₃ = 1 – 6 лет.

S3	x4	S4H	Z4	F4
	Сохранение Замена			11с
	Сохранение Замена			10с
	Сохранение Замена			9с
	Сохранение Замена			8с
	Сохранение Замена			6с
	Сохранение Замена			– 3з

Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.

Переходим к анализу ситуации перед третьим годом исследуемого периода.

- в случае "сохранения" оборудования и

- в случае его "замены".

Теперь следует оптимизировать расходы за двухлетний период (по­следний и предпоследний годы). Оптимальную прибыль за четвертый год следует взять из первой таблицы. Подчеркнем, что - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его сохране­нии или замене; - возраст оборудования к концу третьего года. Данные в колонку F₄ переносятся из предыдущей таблицы в соответствии со значе­нием параметра

S2	X3	S3H	Z3	S3	F4	Z3+F4	F3
	Сохранение Замена						21с
	Сохранение Замена						19с
	Сохранение Замена						17с
	Сохранение Замена						14с
	Сохранение Замена						– 14з
	Сохранение Замена			–	–	–	– 14з

.

Условная оптимизация на начало второго года приведена в следующей таблице:

S1	X2	S2H	Z2	S2	F3	Z2+F3	F2
	Сохранение Замена						30с
	Сохранение Замена						27с
	Сохранение Замена						24з
	Сохранение Замена						24з
	Сохранение Замена						24з
	Сохранение Замена			–	–	–	– 24з

Последняя таблица завершает условную оптимизацию.

S0	X1	S1H	Z1	S1	F2	Z1+F2	F1
	Сохранение Замена						38с
	Сохранение Замена						34з
	Сохранение Замена						33з
	Сохранение Замена						33з
	Сохранение Замена						33з
	Сохранение Замена			–	–	–	– 33з

С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение четырехлетнего периода. Для наглядности основ­ные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех построенных таблиц оформим в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделим элементы, ниже которых располо­жены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управле­ния "замена". Элементы, расположенные выше линии, находятся в области "сохранения" оборудования.

Матрица максимальных прибылей.

t	Годы
	1-4	2-4	3-4
		–	–	–
t=2

Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года. В таблице для t = 2 в первой колонке стоит сум­марная прибыль 33 ден. ед. за четыре года, при этом выбор управления – "замена". К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке мы выбираем строку, соответствую­щую возрасту 3 года. Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы -24 ден. ед., и мы находимся в области "замены" оборудования, следова­тельно, к началу третьего года оборудование будет иметь возраст 1 год. Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна 21 деи. ед., за последний, четвертый год - 10 ден. ед.и находятся в области “сохранения”. Таким образом, рекомендуется замена оборудования в начале второго года.