Задание 2. Дан тетраэдр с вершинами в точках

Дан тетраэдр с вершинами в точках

.

Найти: 1) внутренние углы в основании (с точностью до десятых долей градуса), сделать проверку;

2) объём пирамиды, площадь основания и длину высоты, проведённой из вершины .

Решение

1) Внутренние углы в основании можно найти как углы между векторами, выходящими из соответствующих вершин:

, , .

Как изложено в теоретическом материале, координаты вектора равны разности координат конца и начала вектора, его длина равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. Тогда:

Подставим координаты векторов и их длины в формулы для нахождения косинусов углов:

;

;

.

Проверка: .

С учётом проведённых округлений нахождение углов можно признать правильным.

2) Как показано в теоретическом материале данного раздела, объём треугольной пирамиды можно найти как 1/6 модуля смешанного произведения векторов, на которых она построена:

.

Найдём смешанное произведение векторов, учитывая координаты вектора :

.

Тогда .

Площадь треугольника, являющегося основанием , можно найти как половину модуля векторного произведения векторов, которые образуют данный треугольник:

.

Найдём векторное произведение:

Тогда площадь основания .

Высоту пирамиды из вершины найдём, используя формулу:

.

В данном случае и высота .

Ответ: 1)

2) ; ; .