Варіант № 2. 1. Довести що при будь-якому непарному х число х3 + 3х2 – х + 45 ділиться на 48 (трьома способами)

1. Довести що при будь-якому непарному х число х³ + 3х² – х + 45 ділиться на 48 (трьома способами).

2. Доведіть, що (х, у) = (х+у, у) = (х+у, х) і (х, у) = (х-у, у) = (х-у, х).

3. Покажіть, що якщо, р, g – прості числа, більші трьох, то p² – g² ділиться на 24.

4. Розв'язати рівняння: φ (10^х) = 4000; φ (6^х) = 72; φ (12^х) = 6912.

5. Записати ірраціональним числом такі нескінченні періодичні дроби: [0;(1,2,3)]; [1;(2,3,12)], [3;(4,11)].

6. Довести, що підмножина групи S₄ є комутативною підгрупою (групу Н називають групою Клейна).

7. У множині задано операцію * таблицею Келі:

Довести, що алгебра є групою (її називають групою кватерніонів).

8. Довести, що в області цілісності К елементи асоційовані, якщо ;

9. У кільці цілих гауссових чисел побудувати фактор-кільце . Скласти для елементів фактор-кільця таблиці додавання і множення, знайти всі дільники нуля і обернені елементи, якщо m = 2 i, m = -3 i, m = i.

10. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне таких цілих гауссових чисел: 6 + і та 5 + 7 і.

11. Знайдіть n, при якому вираз (6ⁿ -1)/7 є цілим числом.

12. Знайдіть остачу від ділення числа 383¹⁷⁵ на 45.

13. Розв’язати конгруенцію штучним методом 12xº15(mod 35).

14. З правої сторони до числа 25 дописати таке найменше трицифрове число, щоб знайдене п'ятицифрове число ділилося на 8, 6 і 3.

15. Розв'язати конгруенцію 2х⁸+х⁷-3х⁶+х⁵-2х⁴-х³+4х²+х+1º0(mod5).

16. Розв'язати конгруенцію x⁵-7x⁴+11x³-5x+1º0 (mod 12).

17. Довести, що 8 є квадратичним лишком за простим модулем р=8к+7.

18. Користуючись таблицями індексів, розв'язати конгруенцію: 15*7^2xº8*3^3x(mod31).

19. Перевірити правильність результату обчислень числом 9:

(378³ -7298348)*10+(427019-451²)*50=578298940

20. Перевірити, чи — ЗСЛ (7).