Варіант № 1. Розрахункова робота №1 Навчальний заклад: Бердянський державний педагогічний університет Факультет: фізико-математичний

Розрахункова робота №1

Варіант № 1

1. Доведіть, що n⁶ + 2n⁵ – n² – 2n ділиться на 24, n Î N (трьома способами).

2. Доведіть, що якщо (a, b) = 1, то (a + b, a - b) дорівнює або 1, або 2.

3. Якщо числа р і 8р² + 1 прості, то число 8р² + 2р + 1 також просте. Доведіть.

4. , де a і прості числа. N² має 15 різних дільників. Скільки дільників у N³?

5. Знайти наближення ірраціонального числа за допомогою підхідних дробів з точністю до 0,0001.

6. Нехай G і F - деякі групи відносно операцій Å і Ä відповідно. Довести, що множина G ´ F є групою відносно операції *:

.

(Групу називають прямим добутком груп G і F).

7. У множині задано операцію *:

Довести, що алгебра є півгрупою?

8. Які з заданих множин матриць утворюють кільце відносно операцій додавання і множення? Які з кілець комутативні? Які містять одиницю? Знайти дільники нуля і одиниці. Знайти пари таких кілець в яких перше є підкільцем другого. - множина квадратних матриць n-го порядку, елементи яких є натуральні числа; ; ; ; ; ;

9. Побудувати фактор-кільця . Скласти для їхніх елементів таблиці додавання і множення. Знайти дільники нуля і обернені елементи.

10. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне таких цілих гауссових чисел: 4 + 3 і та 3 + і.

11. Знайдіть n, при якому вираз (73ⁿ +1)/37 є цілим числом.

12. Знайдіть остачу від ділення числа 7⁴⁰² на 101.

13. Розв‘язати конгруенцію .

14. При яких значеннях а система сумісна:

15. Розв'язати конгруенцію х⁹+х⁸+х⁷-х³-х²-5х-3º0(mod7).

16. Розв'язати конгруенцію 3x³-5x²-15º0 (mod 49).

17. Чи може при цілому х число дорівнювати квадрату цілого числа 41x+36.

18. Користуючись таблицями індексів, розв'язати конгруенцію 12^7x º15 (mod 31).

19. Знайти число цифр до періоду при перетворенні звичайного дробу у десятковий 29/196.

20. Чи будуть елементи дільниками нуля, одиниці в фактор-кільці ?