Варіант № 6

1. Знайти множину значень n, при яких числа 3n+1, 5n+4, 11n+9, 17n+1 є точними квадратами.

2. Покажіть, що для будь-яких натуральних чисел a i b має місце рівність (a, b) = (5a+3b, 13a + 8b).

3. Довести, що з усіх цілих чисел виду 7р+1, де р - просте число, тільки одне число є точним кубом.

4. Число N має вид N = . Якщо N поділити на 2, то нове число буде мати на 30 дільників менше, ніж N поділити на 3, то нове число буде мати на 35 дільників менше, ніж N; якщо N поділити на 5 то дільників буде менше на 42. Знайти N.

5. Розв’язати рівняння: .

6. Знайти всі підгрупи групи S₄ і виділити з них циклічні.

7. У мультиплікативній групі всіх комплексних чисел, відмінних від нуля, знайти підгрупу, породжену елементом:

1) - і;

2) ;

3) .

8. Довести, що

1) в кільці ;

2) в кільці .

9. Чи є ідеалом підмножина в кільці .

10. Знайти найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне таких цілих гауссових чисел: 5 + 6 і та 6 + 5 і.

11. Знайдіть n, при якому вираз (73ⁿ +1)/37 є цілим числом.

12. Знайдіть остачу від ділення числа 383¹⁷⁵ на 45.

13. Розв'язати конгруенцію за допомогою скінчених неперервних дробів 97хº53(mod 169).

14. При яких значеннях а система сумісна:

15. Розв’язати конгруенцію x⁹+x⁷-x³+4x+1º0 (mod 21).

16. Розв'язати конгруенцію 3x³-5x²-15º0 (mod 49).

17. Довести, що 8 є квадратичним лишком за простим модулем р=8к+7.

18. Користуючись таблицями індексів, розв'язати конгруенцію:

17*13^3x +27º0 (mod 29).

19. Знайти ознаки подільності на 3, 5 для вісімкової системи числення.

20. Знайти остачу від ділення на .